1 知识点

1.1 集合的概念

• 集合
  指具有某种特定性质的事物的总称。
• 集合的元素
  组成集合的事物称为集合的元素（简称元）。
• 有限集、无限集
  含有限个元素的集合，则称为有限集；反之，称为无限集。
• 子集
  设$A$、$B$是两个集合，如果集合$A$的元素都是集合$B$的元素，则称$A$是$B$的子集，记作$A\subset B$或$B\supset A$。
• 集合相等
  如果集合$A$与$B$互为子集，即$A\subset B$且$B\subset A$，则称集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$。
• 真子集
  若$A\subset B$且$A\ne B$，则称$A$是$B$的真子集。

1.2 集合的运算

1.2.1 并、交、差

• 并集
  由所有属于$A$或者属于$B$的元素组成的集合，称为$A$与$B$的并集，记作$A\cup B$。

  

• 交集
  由既属于$A$又属于$B$的元素组成的集合，称为$A$与$B$的交集，记作$A\cap B$。

• 差集
  由所有属于$A$而不属于$B$的元素组成的集合，称为$A$与$B$的差集，记作$A\setminus B$。

  

• 余集（补集）
  有时，研究某个问题限定在一个大的集合$I$中，所研究的其他集合$A$是$I$的子集，此时，称集合$I$为全集或基本集，称$I\setminus A$为$A$的余集或补集，记作$A^c$。

1.2.2 运算法则

• 交换律
  $A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$
• 结合律
  $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
  $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• 分配律
  $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$
  $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$
• 对偶律
  $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$，$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

1.2.3 直积

• 直积
  设$A$、$B$是任意两个集合，在集合$A$中任意取一个元素$x$，在集合$B$中任意取一个元素$y$，组成一个有序对$(x,y)$，把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合$A$与集合$B$的直积，记为$A\times B$。

1.2 区间和邻域

1.2.1 区间

• 区间是一类数集。
• 开区间
  设$a$和$b$都是实数，且$a<b$，数集 { x ∣ a < x < b } \lbrace x|a<x<b \rbrace {x∣a<x<b}称为开区间，记作$(a,b)$。
• 闭区间
  数集 { x ∣ a ≤ x ≤ b } \lbrace x|a\leq x \leq b \rbrace {x∣a≤x≤b}称为闭区间，记作$[a,b]$。
• 半开区间
  $[a,b)$和$(a,b]$都称为半开区间。

1.2.2 邻域

• 邻域
  以点$a$为中心的任何开区间称为点$a$的邻域，记作$U(a)$。
• $\delta$邻域
  设$\delta$是任一正数，则开区间$(a-\delta ,a+\delta )$就是点$a$的一个邻域，这个邻域称为点$a$的$\delta$邻域，记作$U(a,\delta )$，即 U ( a , δ ) = { x ∣ a − δ < x < a + δ } U(a,\delta)=\lbrace x|a-\delta < x < a + \delta\rbrace U(a,δ)={x∣a−δ<x<a+δ}。
• 去心邻域
  点$a$的$\delta$邻域去掉中心$a$后，称为点$a$的去心$\delta$邻域。

---

2 练习题

2.1

• 【题目】
• 设$A=(-\infty ,-5)\cup (5,+\infty )$，$B=[-10,3)$，写出$A\cup B$，$A\cap B$，$A\setminus B$及$A\setminus (A\setminus B)$的表达式。
• 【解答】
• 如图：

• $A\cup B=(-\infty ,3)\cup (5,+\infty )$
• $A\cap B=[-10,-5)$
• $A\setminus B=(-\infty ,-10)\cup (5,+\infty )$
• $A\setminus (A\setminus B)=[-10,-5)$

2.2

• 【题目】
  设$A$、$B$是任意两个集合，证明对偶律：$(A\cup B{)}^c=A^c\cup B^c$.
• 【证明】
  • 对任一$x\in (A\cap B{)}^c\Rightarrow x\notin A\cap B\Rightarrow x\notin A$ 或 $x\notin B\Rightarrow x\in A^c$ 或 $x\in B\Rightarrow x\in A^c\cup B^c\Rightarrow (A\cap B{)}^c\subset A^c\cup B^c$
  • 对任一$x\in (A^c\cup B^c)\Rightarrow x\in A^c$或$x\in B^c\Rightarrow x\notin A$或$x\notin B\Rightarrow x\notin (A\cap B)\Rightarrow x\in (A\cap B{)}^c\Rightarrow A^c\cup B^c\subset (A\cap B{)}^c$
  • 综上，$(A\cup B{)}^c=A^c\cup B^c$。

---

【学习资料】

• 《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编