一、柔性作业车间调度问题

柔性作业车间调度问题(Flexible Job Scheduling Problem, FJSP) 的描述如下：n个工件 { J , J 2 , . . , J n } \{J,J_2,..,J_n\} {J,J2​,..,Jn​}要在$m$ 台机器 { M 1 , M 2 , . . , M m } \{M_1,M_2,..,M_m\} {M1​,M2​,..,Mm​} 上加工。每个工件包含一道或多道工序，工序顺序是预先确定的，每道工序可以在多台不同加工机器上进行加工，工序的加工时间随加工机器的不同而不同。调度目标是为每道工序选择最合适的机器、确定每台机器上各个工序的最佳加工顺序以及开工时间，使整个系统的某些性能指标达到最优。因此，柔性作业车间调度问题包含两个子问题：确定各工件的加工机器 (机器选择子问题) 和确定各个机器上的加工先后顺序 (工序排序子问题)。

此外，在加工过程中还需要满足下面的约束条件：
(1) 同一台机器同一时刻只能加工一个工件；
(2) 同一工件的同一道工序在同一时刻只能被一台机器加工；
(3) 每个工件的每道工序一旦开始加工不能中断；
(4) 不同工件之间具有相同的优先级；
(5)不同工件的工序之间没有先后约束，同一工件的工序之间有先后约束；
(6)所有工件在零时刻都可以被加工。

1.1符号描述

$n:$工件总数；
$m:$ 机器总数；
$i,e:$ 机器序号，$i,e=1,2,3,...,m$ ;
$j,k:$ 工件序号，$j,k=1,2,3,...,n;$ $h_j:$工件$j$ 的工序总数；
$h,l:$ 工序序号，$h=1,2,3,...,h_j$ ;
${\Omega }_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序的可选加工机器集；
$m_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序的可选加工机器数；
$O_{jh}:$工件$j$ 的第$h$道工序；
$M_{ijh}:$工件$j$ 的第$h$道工序在机器$i$ 上加工；
$p_{ijh}:$工件$j$的第$h$道工序在机器$i$上的加工时间；
$s_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序加工开始时间；
$c_{jh}:$工件$j$的第$h$道工序加工完成时间；
$d_j:$工件$j$ 的交货期；
$L$: 一个足够大的正数；
$C_j$: 每个工件的完成时间；
$C_{\max }:$ 最大完工时间；
$T_o:T_o={\sum }_{j=1}^n{h}_j$, 所有工件工序总数；
$x_{ijh}=\{\begin{array}{l}1,\text{如果工序}{O}_{jh}\text{选择机器}i;\\ 0,\text{否则；}\end{array}$
$y_{ijhkl}=\{\begin{array}{l}1,\text{如果}{O}_{ijh}\text{先于}{O}_{ikl}\text{加工};\\ 0,\text{否则};\end{array}$

1.2约束条件

$C_1:s_{jh}+x_{ijh}\times p_{ijh}\le c_{jh}$

其中：$i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n;$ $h=1,\dots ,h_j$
$C_2:c_{jh}\le s_{j(h+1)}$
其中$:j=1,\dots ,n;h=1,...,h_j-1$
$C_3:c_{j{h}_j}\le C_{\max }$
其中：$j=1,...,n$
$C_4:s_{jh}+p_{ijh}\le s_{kl}+L(1-y_{ijhkl})$

其中$:j=0,\dots ,n;k=1,\dots ,n;h=1,\dots ,h_j;l=1,\dots ,h_k;i=1,\dots ,m$
$C_5:c_{jh}\le s_{j(h+1)}+L(1-y_{iklj(h+1)})$

其中$:j=1,\dots ,n;k=0,\dots ,n;h=1,\dots ,h_j-1;l=1,\dots ,h_k;i=1,\dots ,m$
$h_1:{\sum }_{i=1}^{m_{jh}}{x}_{ijh}=1$
其中：$h=1,...,h_j;j=1,...,n;$

$h_2:{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{h=1}^{h_j}{y}_{ijhkl}=x_{ikl}$

其中：$i=1,\dots ,m;k=1,\dots ,n;l=1,\dots ,h_k$
$h_3:{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{i=1}^{n_k}{y}_{ijhkl}=x_{ijh}$

其中：$i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n;h=1,\dots ,h_k$
$C_6:s_{jh}\ge 0,c_{jh}\ge 0$

其中$:j=0,1,...,n;h=1,...,h_j$

$C_1$和 $C_2$表示每一个工件的工序先后顺序约束 ;
$C_3$表示工件的完工时间的约束,即每一个工件的完工时间不可能超过总的完工时间 ;
$C_4$和 $C_5$表示同一时刻同一台机器只能加工一道工序 ;
$h_1$表示机器约束,即同一时刻同一道工序只能且仅能被一台机器加工;
$h_2$和 $h_3$表示存在每一台机器上可以存在循环操作 ;
$C_6$表示各个参数变量必须是正数。

1.3目标函数

(1) 最大完工时间最小。

完工时间是每个工件最后一道工序完成的时间，其中最大的那个时间就是最大完工时间(makespan)。它是衡量调度方案的最根本指标， 主要体现车间的生产效率，也是 FJSP 研究中应用最广泛的评价指标之一。如下式所示：

$f_1=\min ({\max }_{\mathrm{l}\le j\le n}(C_j))$

(2)机器最大负荷最小。

在 FJSP 求解中，存在选择机器的过程，各个机器的负荷随着不同的调度方案而不同。负荷最大的机器就是瓶颈设备，为提高每台机器的利用率，必须使得各台机器的负荷尽量小且平衡。如下式所示：

$f_2=\min ({\max }_{\mathrm{l}\le i\le m}{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{h=1}^{h_j}{p}_{ijh}{x}_{ijh})$

(3)总机器负荷最小。

工序在不同机器上的加工时间是不同的，那么总的机器负荷随着不同的调度方案而不同。尽量使最大完工时间一样的情况下，减少所有机器的总消耗。如下式所示：

$f_3=\min ({\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{h=1}^{h_j}{p}_{ijh}{x}_{ijh})$
参考文献：
[1]张国辉.柔性作业车间调度方法研究[D].华中科技大学,2009.

二、四种多目标优化算法介绍

1. NSGA2:
   NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II）是一种流行的多目标遗传算法，由Deb等人在2002年提出，用于解决具有多个冲突目标的优化问题。它在第一代非支配排序遗传算法（NSGA）的基础上进行了改进，主要改进点包括：

快速非支配排序算法：NSGA-II引入了快速非支配排序方法，将算法的计算复杂度从O(MN^{3)降低到O(MN}2)，其中M是目标个数，N是种群个数。这种方法首先计算每个个体的支配计数和被支配集合，然后通过迭代过程快速确定各个非支配层级。

拥挤比较算子：为了维持种群的多样性，NSGA-II使用了拥挤比较算子来估计个体间的拥挤程度。在同一非支配层级中，拥挤度较高的个体更可能被选择，以避免算法过早收敛至局部最优解。

精英策略：NSGA-II采用了精英策略，将父代和子代种群合并后进行非支配排序，然后根据排序和拥挤度选择下一代种群，这样可以确保优秀的个体不会被丢失。

NSGA-II算法的主要步骤包括：

• 初始化种群
• 计算个体的适应度（目标函数值）
• 快速非支配排序
• 拥挤度计算
• 选择、交叉和变异操作生成新一代种群
• 合并父代和子代种群
• 重复上述过程直到满足终止条件

2. 非支配粒子群优化算法 (NSPSO, Non-dominated Sorting Particle Swarm Optimization):

   • 原理: 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟鸟群或鱼群的社会行为的算法。NSPSO结合了非支配排序和粒子群优化算法，通过粒子间的信息共享和个体学习来优化多目标问题。
   • 特点: 算法具有良好的全局搜索能力和快速收敛性，同时能够保持解的多样性。

3. 非支配蜣螂优化算法 (NSDBO, Non-dominated Sorting Dung Beetle Optimization):

   • 原理: 蜣螂优化算法（Dung Beetle Optimization, DBO）是一种模拟蜣螂滚球行为的算法。它通过模拟蜣螂寻找食物、滚球和避障的行为来搜索最优解。非支配排序用于生成Pareto前沿，以确保解的多样性和优化目标的平衡。
   • 特点: 算法具有较强的局部搜索能力和逃逸局部最优的能力，适合解决复杂的多目标优化问题。

4. 非支配小龙虾优化算法 (NSCOA, Non-dominated Sorting Crayfish Optimization Algorithm):

   • 原理: 小龙虾优化算法（Crayfish Optimization Algorithm, COA）是一种模拟小龙虾觅食和逃避捕食者行为的算法。它通过模拟小龙虾的觅食路径和逃避策略来搜索最优解。非支配排序用于生成Pareto前沿，以确保解的多样性和优化目标的平衡。
   • 特点: 算法具有良好的探索能力和适应性，能够适应不同的优化问题，并且能够保持解的多样性。

三、四种算法求解FJSP

四种算法求解FJSP，以最大完工时间最小、机器最大负荷最小、总机器负荷最小为目标函数。

3.1部分代码

%% 算法求解
%% 算法求解
R(1).Result = NSGA2(MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine,energy);
R(2).Result = NSPSO(MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine,energy);
R(3).Result = NSDBO(MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine,energy);
R(4).Result = NSCOA(MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine,energy);
%% Pareto解
Strcol={'r*','go','bs','k>'};
NameAlgorith={'NSGA2','NSPSO','NSDBO','NSCOA'};
figure(1)
for i=1:4
    scatter3(R(i).Result.obj_matrix(:,1), R(i).Result.obj_matrix(:,2), R(i).Result.obj_matrix(:,3),50,Strcol{i})
    hold on
end
xlabel('最大完工时间'); ylabel('总能耗'); zlabel('总成本', 'Rotation', 90)
legend(NameAlgorith)

3.2部分结果

以Mk01数据集为例：

四、完整MATLAB代码

见下方名片