《数字信号处理》学习03-矩形序列，实指数序列和复指数序列

news2024/11/15 6:56:06

一，矩形序列

1，由单位阶跃序列组成

2，由单位冲击序列组成

二，实指数序列

三，复指数序列

这篇文章着重学习：矩形序列，实指数序列和复指数序列。其它序列都比较简单，这里不再赘诉。

相关内容参考自：唐向宏著作的《数字信号处理》P12，电子书籍请通过专栏下的链接下载。

一，矩形序列

矩形序列用 $R_{N}(n)$ 表示。

其中 N 表示矩形序列的序列值 1 的数量（个数）（N 也表示矩形序列的长度），离散时间变量 n 的取值范围为：[0,N-1]（从 0 到 N-1 ，共有 N-1-0+1=N 个序列值，序列长为N）
当 n 为其它值时（小于0 或大于 N 的部分），矩形序列的序列值为 0 。

例如 $R_{6}(n)$ 就是序列长为6，离散时间变量 $n\in [0,5]$ 的矩形序列，对应的波形图如下：

% 定义离散时间变量 n
n =0:5; % n是一个数组，里面的元素：从0到5，总共6个样本点
% 使用zeros函数定义矩形序列 R6(n)，长度为6，所有值为0
R6= zeros(length(n));  % length函数可以返回数组n中元素的个数
for k=n   % 将位于离散时间变量n区间内的序列值都赋值为 1 
    R6(k+1)=1;
end
% 绘制矩形序列
stem(n, R6, 'filled');
xlabel("离散时间变量n");
ylabel("R6(n)");
title("长度为6的矩形序列R6(n)");
axis([-2 6 0 2]);
grid on; % 添加网格线

也可以使用如下代码绘制矩形序列R6(n)

% 定义离散时间变量 n
n =0:5; % n是一个数组，里面的元素：从0到5，总共6个样本点
% 使用zeros函数定义矩形序列 R6(n)，长度为6，所有值为0
R6= ones(length(n));  % length函数可以返回数组中元素的个数
% 绘制矩形序列
stem(n, R6, 'filled');
xlabel("离散时间变量n");
ylabel("R6(n)");
title("长度为6的矩形序列R6(n)");
axis([-2 6 0 2]);
grid on; % 添加网格线

从绘制出来的矩形序列R6(n)的波形图中可以观察到，矩形序列R6(n)跟单位阶跃序列 u(n) 很像。

1，由单位阶跃序列组成

单位阶跃序列u(n)波形图及代码如下👇:

n=0:20;
un=n>=0;
stem(n,un,'filled');
xlabel("离散时间变量n");
ylabel("u(n)");
title("单位阶跃序列u(n)");
axis([-1 21 0 2]);

单位阶跃序列在 n > = 0 的地方都有取值（凡是带有“单位”两个字的，对应的值都是 1 ，例如单位向量的模为 1 ，单位矩形序列在指定离散时间变量范围内的序列值为 1 等），n<0 时单位阶跃序列的序列值全为 0；

因此，可以看到，单位阶跃序列 u(n) 如果去掉 n==6及其后面的序列，剩下部分的就是单位矩形序列 R6(n)

所以，矩形序列的表达式可以用单位阶跃序列来表示：

$R_{N}(n)=u(n)-u(n-N)$

2，由单位冲击序列组成

单位冲击序列δ(n)波形图及代码如下👇:

n=-1:6;
deltan=n==0;
stem(n,deltan,'filled');
xlabel("离散时间变量n");
ylabel("δ(n)");
title("单位冲击序列δ(n)");
axis([-1 1 0 2]);

对于单位冲击序列 δ(n) 而言，它只在离散时间变量 n==0 的地方有取值 1，其它地方都为 0，这种性质很特别，在处理很多信号的过程中，经常用它对待处理的序列进行抽样，例如：待处理的序列x(n) 乘上 δ(n)= $x(0)\delta (n)$ ，本来序列x(n)在n！=0 的地方是有序列值的，但由于δ(n) 在n ！=0 的地方序列值为0，从而导致 $x(n)*0=0$ ，x(n)只在 n==0 的地方有序列值，既 $x(0)*δ(n)$ 。因此单位冲击序列也称为单位抽样序列。
【需要注意】
单位冲击序列 δ(n) 可以有左右移位，从而形成超前或滞后单位冲激序列，当 δ(n) 序列向左平移一位（离散时间变量 n 遵循 “左加右减”）形成超前序列 δ(n+1) ：

n=-3:6;
deltan=n==-1;
stem(n,deltan,'filled');
xlabel("离散时间变量n");
ylabel("δ(n+1)");
title("单位冲击序列δ(n)的超前序列：δ(n+1)");
axis([-2 2 0 2]);

δ(n+1) 比 δ(n) 提前了一个单位时间。

相应的滞后序列 δ(n-1) ：

δ(n-1) 比 δ(n) 滞后了一个单位时间。

如果单位冲击序列δ(n) 有超前 δ(n+N) 或者是滞后 δ(n-N) ，那么就会有如下的抽样：

超前序列 δ (n+N)对序列 x(n) 的抽样： $x(n)*\delta (n+N)=x(N)*\delta(n+N)$
滞后序列 δ (n-N) 对序列 x(n) 的抽样： $x(n)*\delta (n-N)=x(N)*\delta(n-N)$

这里的 * 表示离散时间序列卷积操作。实际效果是用单位冲激序列在时刻 $n=N_{n}=N$ 处“采样” x(n) 的值，从而得到信号x(n) 在时刻 $n=N_{n}=N$ 的滞后值： $x(N)*\delta(n-N)$ （或超前值： $x(N)*\delta(n+N)$ ）

由单位冲击序列 δ(n) 及其滞后序列组成的长度为6的矩形序列 $R_{6}(n)$ 图像如下👇：

所以，矩形序列的表达式可以用单位冲击序列来表示：

$R_{N}(n)=\delta (n)+\delta(n-1)+ \delta(n-2)+\delta(n-3)+ \delta(n-4)+\delta(n-5)+...+\delta(n-N-1)=\sum_{m=0}^{N-1}\delta(n-m)$

二，实指数序列

实指数序列就是实指数幂 $a^{n}$ 乘上阶跃信号 $u(n)$ ，既 $x(n)=a^{n}u(n)$ 。其中，a和n都是实数。

具体来说：

如果|a|>1，实指数序列x(n)的幅度随着 n 的增大而增大，实指数序列 x(n) 发散。
如果|a|<1，实指数序列x(n)的幅度随着 n 的增大而减小，实指数序列 x(n) 收敛。

因为发散的序列无法绘制出来，所以这里只使用matlab绘制出当 |a|<1 时，实指数序列x(n)收敛的波形，如下图所示👇

a = 0.5; %  |a| < 1
n = 0:20; % 离散时间变量 n 的取值范围
xn = a.^n; % 计算 a^n
xn(n < 0) = 0; % u(n) = 0 for n < 0
stem(n, xn, 'filled');
title(['实指数序列x(n)=a^nu(n)，且a=', num2str(a)]);
%num2str(a) 将 a 的数值转换为字符串，并与其他文本连接在一起，形成完整的标题。
xlabel('离散时间变量n');
ylabel('x(n)');
grid on;
axis([-1 20 0 2]); % 设置坐标轴范围

三，复指数序列

复指数序列 x(n)=e(σ+j $ω_{0}$ )n 。具体来说：

1）σ：表示信号的衰减或增长率，

$jω_{0}$ ：是复数部分，其中 $ω_{0}$ 是信号的角频率，决定了信号的旋转速率。

可以使用MATLAB来绘制这个复指数序列的实部和虚部。以下是相关的效果图和代码：

假设 σ=−0.1（信号随时间衰减，会逐渐变平）， $ω_{0}$ =1（信号的旋转速率为1）：

如果 σ<0，信号会随时间衰减；
如果σ>0，信号会随时间增长；
如果 σ=0，信号将保持不变（仅为旋转信号）具有恒定的幅度和变化的相位。用极坐标可以表示成 x(n)=ej $ω_{0}$ n 。直角坐标图像通过极坐标和直角坐标的图像，可以直观地观察到这一特性。

下面是将复指数序列  的极坐标系图及实部和虚部绘制在一张图中，如下👇：

sigma=-0.5;       %信号的增长或衰减率
omega0 = 1;    % 角频率
n = 0:50;      % 离散时间变量 n
% 计算复指数序列
x_n = exp(sigma+1i * omega0 * n);
% 绘制极坐标图
figure;  %创建图形窗口，也可以不写
subplot(2, 1, 1); %两行一列的图纸，虚部图像在第一行
polarplot(omega0 * n, abs(x_n), 'b', 'LineWidth', 1.5);
%polarplot:绘制极坐标系的函数
title(['复指数序列x(n)的极坐标图 = e^{(σ+j\omega_0 ) n}，σ=',num2str(sigma)]);
% 绘制实部和虚部
subplot(2, 1, 2);  
plot(n, real(x_n), 'b', 'LineWidth', 1.5);%宽度为 1.5 个单位的blue蓝色线条绘制
hold on;
plot(n, imag(x_n), 'r', 'LineWidth', 1.5);%宽度为 1.5 个单位的red红色线条绘制
title('复指数序列x(n)的实部和虚部');
xlabel('离散时间变量n');
ylabel('幅度');
legend('实部', '虚部');
grid on;

在文章所在专栏的唐向宏著作的《数字信号处理》一书中，复指数序列的定义如下：

arg 复数辐角（argument of complex number）指的是复数的辐角主值。

例如： $Z=|Z|(COS\theta +jsin\theta)$ ，其中：

|Z|为 Z的模；
θ是Z的辐角，记作θ=arg(Z);

任何一个不为零的复数 Z=a+jb 的辐角有无限多个值，且这些值相差2Π的整数倍

辐角的主值： $\theta \in (-\Pi ,\Pi)$

辐角的主值唯一，且 Arg（Z）=arg(z)+2kΠ