自动控制：鲁棒控制的原理和设计

news2024/9/23 13:28:18

自动控制：鲁棒控制的原理和设计

引言

在实际控制系统中，由于模型不确定性、外部扰动、参数变化等因素，传统的控制方法难以保证系统在各种情况下的性能。这时，鲁棒控制（Robust Control）应运而生。鲁棒控制的主要目标是设计一个控制器，使得系统在面对各种不确定性和扰动时，仍能保持稳定性并满足性能要求。本文将介绍鲁棒控制的基本原理、设计方法以及相关的理论和公式。

鲁棒控制的基本原理

鲁棒控制是针对系统的不确定性和扰动设计的控制方法。一个系统的鲁棒性指的是它在面对不确定性时，保持稳定性和性能的能力。鲁棒控制器的设计目标是在不确定性范围内，确保系统的稳定性，并尽可能优化系统的性能。

鲁棒控制通常关注以下几个方面：

模型不确定性：系统的数学模型可能不精确或有变化，鲁棒控制需要处理这些不确定性。
外部扰动：外界的干扰信号会影响系统的性能，鲁棒控制要尽量减小这些影响。
参数变化：系统的参数可能随时间或环境变化，鲁棒控制要确保在参数变化时系统仍然稳定。

H∞ 控制理论

H∞ 控制理论是鲁棒控制中最常用的方法之一，它通过优化控制系统的 H∞ 范数来设计控制器。H∞ 范数表示系统从输入到输出的最大增益，用于衡量系统对扰动的抑制能力。

系统描述

考虑线性时不变系统，状态空间表示为：

$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) + B_1 w(t) + B_2 u(t), \\ z(t) &= C_1 x(t) + D_{11} w(t) + D_{12} u(t), \\ y(t) &= C_2 x(t) + D_{21} w(t) + D_{22} u(t), \end{aligned}$

其中：

$x (t)$ 是系统状态向量，
$u (t)$ 是控制输入，
$w (t)$ 是外部扰动，
$z (t)$ 是控制目标（如性能输出），
$y (t)$ 是测量输出。

H∞ 控制问题

H∞ 控制问题的目标是设计一个控制器 $K (s)$ ，使得闭环系统的 H∞ 范数小于某一给定值 $\gamma$ ，即：

$\|T_{zw}(s)\|_\infty < \gamma,$

其中， $T_{zw}(s)$ 是从扰动 $w (t)$ 到性能输出 $z (t)$ 的传递函数矩阵。

H∞ 控制器的设计步骤

建立系统模型：确定系统的状态空间模型，包括系统矩阵 $A, B_1, B_2, C_1, D_{11}, D_{12}, C_2, D_{21}, D_{22}$ 。
选择权重函数：选择合适的权重函数来调整系统的性能指标。通常通过定义加权传递函数矩阵 $W (s)$ 来实现。
求解 H∞ 问题：通过解线性矩阵不等式（LMI）或黎卡提方程来求解控制器增益矩阵。
仿真与验证：通过仿真验证控制器的鲁棒性和性能，并根据需要进行调试和优化。

线性矩阵不等式（LMI）方法

在 H∞ 控制中，线性矩阵不等式（LMI）是常用的求解方法。LMI 的形式为：

$A(\mathbf{x}) + B(\mathbf{x}) \mathbf{y} C(\mathbf{x}) \prec 0,$

其中，矩阵 $A, B, C$ 是关于变量 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ 的线性函数。

LMI 方法的优势在于它能够处理多种不确定性，并提供全局最优解。许多控制问题（如 H∞ 控制、鲁棒控制）都可以转化为 LMI 问题，并通过数值优化方法求解。

鲁棒控制器设计实例

考虑一个具有不确定性的单输入单输出（SISO）系统，系统模型为：

$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1+\Delta \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t), \\ y(t) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x(t), \end{aligned}$

其中， $\Delta$ 表示系统的不确定性。

Python代码示例

import numpy as np
import scipy.linalg as la
import control as ctrl

# 系统矩阵定义
A = np.array([[0, 1], [-1, 1]])
B = np.array([[0], [1]])
C = np.array([[1, 0]])
D = np.array([[0]])

# 定义不确定性范围
Delta_max = 0.1
Delta_min = -0.1

# 状态反馈控制器设计
# 通过选择K矩阵使得闭环系统满足鲁棒性要求
K = np.array([[-2, -3]])

# 闭环系统矩阵
Acl = A + B @ K

# 检查闭环系统的稳定性
eig_vals = la.eigvals(Acl)
print("闭环系统的特征值:", eig_vals)

# 验证鲁棒性
stable = all(np.real(eig_vals) < 0)
if stable:
    print("闭环系统在不确定性范围内稳定")
else:
    print("闭环系统不稳定")