图的 m 着色问题
问题描述
给定一个无向连通图 ( G = (V, E) ) 和 ( m ) 种颜色，我们的任务是为图 ( G ) 的每个顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。如果存在这样的着色方案，我们称之为图 ( G ) 的 ( m ) 可着色问题。
算法思路
- 初始化：创建一个二维数组
colors来记录每个顶点的颜色。 - 选择起始点：从图中任选一个顶点作为起始点，并为其着色。
- 相邻顶点着色：对于起始点相邻的顶点，依次尝试着色，确保相邻顶点颜色不同。
- 回溯：如果某个顶点无法着色，则回溯到上一个顶点，尝试其他颜色。
- 完成着色：当所有顶点都被成功着色时，记录着色方案。
算法设计
输入
- 图 ( G = (V, E) )，其中 ( V ) 是顶点集合，( E ) 是边集合。
- 颜色数 ( m )。
输出
- 所有可能的着色方案，或者输出 “NO” 表示不存在着色方案。
步骤
- 构建邻接矩阵：使用一个二维数组 ( a ) 来表示图 ( G ) 的邻接矩阵，其中 ( a[i][j] = 1 ) 表示顶点 ( i ) 和顶点 ( j ) 之间有边。
下图表示 每个顶点有m种 着色方法
3. 着色过程：
- 从顶点 ( 1 ) 开始，尝试为其着色。
- 对于每个顶点 ( i )，检查所有相邻顶点 ( j )，确保 ( x[i] ≠ x[j] )。
- 如果当前颜色无法满足条件，尝试下一个颜色，直到找到合适的颜色或所有颜色都尝试完毕。
- 如果所有颜色都无法满足条件，则回溯到上一个顶点，改变其颜色。
- 记录着色方案：当所有顶点都被着色时，记录当前的着色方案。
示例
假设我们有一个图 ( G ) 包含 4个顶点，我们尝试使用 3 种颜色对其进行着色。通过上述算法，我们可以找到所有可能的着色方案。
假设的图 ( G ) 和颜色
- 顶点集合 ( V = {1, 2, 3, 4} )
- 边集合 ( E = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4)} )
- 颜色集合 ( C = {红, 蓝, 绿} )
步骤
1. 构建邻接矩阵
首先，我们需要构建一个邻接矩阵来表示图中顶点之间的连接关系。如果顶点 ( i ) 和顶点 ( j ) 之间有边，则 ( a[i][j] = 1 )，否则 ( a[i][j] = 0 )。
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 0 |
2. 着色过程
我们将使用回溯法来尝试为每个顶点着色。
2.1 选择起始点
我们从顶点 1 开始着色。
2.2 为顶点 1 着色
我们尝试为顶点 1 着色。由于没有相邻的顶点，我们可以任意选择一种颜色。假设我们选择红色。
- 颜色数组：[ 红, _ , _ , _ ]
2.3 为顶点 2 着色
顶点 2 与顶点 1 相邻，因此不能着同样的颜色（红色）。我们尝试其他颜色。
- 尝试蓝色：可以，因为与顶点 1 不同。
- 颜色数组：[ 红, 蓝, _ , _ ]
2.4 为顶点 3 着色
顶点 3 与顶点 1 和 2 相邻，因此不能着红色或蓝色。
- 尝试绿色：可以，因为与顶点 1 和 2 不同。
- 颜色数组：[ 红, 蓝, 绿, _ ]
2.5 为顶点 4 着色
顶点 4 与顶点 3 相邻，因此不能着绿色。
- 尝试红色：不可以，因为与顶点 3 相同。
- 尝试蓝色：可以。
- 颜色数组：[ 红, 蓝, 绿, 蓝 ]
3. 完成着色
我们成功为所有顶点着色，得到一个有效的着色方案。
代码
#include "stdio.h"
// 定义全局变量
int n, m; // n 是图中顶点的数量，m 是可以使用的颜色数量
int a[100][100]; // 定义一个 100x100 的二维数组 a，用来存储图的邻接矩阵
int x[100]; // 定义一个数组 x，用来存储当前顶点的着色方案
int sum = 0; // 定义一个变量 sum，用来记录总共找到的着色方案的数量
// 输入函数，用于获取用户输入的图的信息
void input() {
printf("输入顶点数n和着色数m:\n"); // 提示用户输入顶点数和颜色数
scanf("%d %d", &n, &m); // 读取用户输入的顶点数和颜色数
printf("输入无向图的邻接矩阵:\n"); // 提示用户输入邻接矩阵
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历每个顶点
for (int j = 1; j <= n; j++) // 遍历每个顶点的邻接顶点
scanf("%d", &a[i][j]); // 读取邻接矩阵的值
printf("\n"); // 换行
}
}
// 检查函数，用于检查当前顶点是否可以着指定颜色
int ok(int k) {
for (int j = 1; j <= n; j++) // 遍历所有顶点
if (a[k][j] && (x[j] == x[k])) // 如果顶点 k 和顶点 j 相邻，并且颜色相同
return 0; // 返回 0，表示不可以着这个颜色
return 1; // 返回 1，表示可以着这个颜色
}
// 回溯函数，用于尝试所有可能的着色方案
void backtrack(int t) {
if (t > n) { // 如果已经为所有顶点尝试了着色
sum++; // 着色方案数加一
} else {
for (int i = 1; i <= m; i++) { // 尝试每种颜色
x[t] = i; // 给顶点 t 着色
if (ok(t) == 1) backtrack(t + 1); // 如果可以着这个颜色，递归尝试下一个顶点
x[t] = 0; // 回溯，撤销当前顶点的着色
}
}
}
// 主函数，用于启动着色算法
int color() {
sum = 0; // 初始化着色方案数为 0
backtrack(1); // 从第一个顶点开始尝试着色
return sum; // 返回找到的着色方案数
}
// 主函数，程序的入口
int main() {
input(); // 调用输入函数
color(); // 调用着色函数
printf("着色方案数为：%d\n", sum); // 输出找到的着色方案数
return 0; // 程序结束
}
复杂度分析
图m可着色问题的解空间树中，内结点个数是：
对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当前扩展结点每一个儿子的颜色可用性需耗时O(mn)。
因此，回溯法总的时间耗费是
