62.不同路径

题目：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

思路：

这个问题可以通过动态规划来解决。我们可以使用一个二维数组 dp 来保存从起点到达每个格子的路径数量。

动态规划思路：

1. 定义状态:

   • 设 dp[i][j] 为从起点 (0,0) 到达格子 (i,j) 的路径数。

2. 状态转移方程:

   • 机器人每次只能向下或者向右移动一步，所以到达 dp[i][j] 的路径数等于从上方格子 dp[i-1][j] 到达的路径数与从左方格子 dp[i][j-1] 到达的路径数之和，即： dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]

3. 初始条件:

   • 起点 dp[0][0] 的路径数为 1，因为机器人从起点开始，所以路径数为 1。
   • 第一行和第一列的路径数也应该初始化，因为在这些位置上，机器人只能从左到右（对于第一行）或者从上到下（对于第一列）移动，因此：
     • 对于第一行（i = 0），dp[0][j] = 1（因为机器人只能一直向右移动）。
     • 对于第一列（j = 0），dp[i][0] = 1（因为机器人只能一直向下移动）。

4. 计算路径数:

   • 我们可以从左上角 (0,0) 开始，通过状态转移方程计算出每个格子的路径数，最终 dp[m-1][n-1] 就是我们要的答案。

上代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));

        // 初始化第一行和第一列
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            dp[0][j] = 1;
        }

        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }

        return dp[m-1][n-1];
    }
};

 63. 不同路径 II 

题目：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

思路：

要解决这个问题，我们可以使用动态规划方法。与之前的没有障碍物的路径问题类似，但需要考虑障碍物的存在。

动态规划思路：

1. 定义状态:

   • 设 dp[i][j] 为从起点 (0,0) 到达格子 (i,j) 的路径数。
   • 如果 obstacleGrid[i][j] == 1，说明该格子为障碍物，不可通行，则 dp[i][j] = 0。
   • 否则，路径数为从上方格子 dp[i-1][j] 和左方格子 dp[i][j-1] 到达的路径数之和。

2. 状态转移方程:

   dp[i][j]=obstacleGrid[i][j]==1?0:dp[i−1][j]+dp[i][j−1]dp[i][j] = \text{obstacleGrid}[i][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j] + dp[i][j-1]dp[i][j]=obstacleGrid[i][j]==1?0:dp[i−1][j]+dp[i][j−1]

3. 初始条件:

   • 起点 dp[0][0] 的路径数为 1，但如果起点本身是障碍物，则 dp[0][0] = 0。
   • 第一行和第一列的路径数需要特别处理，因为只能从一个方向到达：
     • 对于第一行（i = 0），如果当前格子及其左侧没有障碍物，则路径数为 1，否则为 0。
     • 对于第一列（j = 0），如果当前格子及其上方没有障碍物，则路径数为 1，否则为 0。

4. 计算路径数:

   • 从左上角开始，通过状态转移方程计算出每个格子的路径数，最终 dp[m-1][n-1] 就是我们要的答案。

上代码：

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        
        // 如果起点有障碍物，直接返回 0
        if (obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;

        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));

        // 初始化起点
        dp[0][0] = 1;

        // 初始化第一列
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = (obstacleGrid[i][0] == 0 && dp[i-1][0] == 1) ? 1 : 0;
        }

        // 初始化第一行
        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            dp[0][j] = (obstacleGrid[0][j] == 0 && dp[0][j-1] == 1) ? 1 : 0;
        }

        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 0) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
                }
            }
        }

        return dp[m-1][n-1];
    }
};