备战2024年全国大学生数学建模竞赛：蔬菜类商品的自动定价与补货决策

一、引言

二、问题分析

三、解题思路

问题1：销售量分布规律及相互关系

问题2：品类级别的补货计划与定价策略

问题3：单品级别的补货计划与定价策略

问题4：补充数据的建议与分析

四、知识点解析

五、模型建立与求解

1. 问题1的统计分析与相关性模型

2. 问题2的品类级别需求预测与定价优化

3. 问题3的单品级别优化模型

4. 数据采集建议与分析

六、结果讨论与总结

七、表格总结

八、总结与建议

一、引言

全国大学生数学建模竞赛是一项重要的学术竞赛，旨在通过数学模型的建立和求解，解决实际生活中的复杂问题。2023年竞赛C题围绕蔬菜类商品的自动定价与补货决策展开，涉及数据分析、时间序列预测、优化算法等多个领域。本文将针对这一题目，深入探讨如何在不确定的市场环境下，通过科学的模型和算法实现最优的定价与补货策略。

二、问题分析

2023年C题的核心是如何在蔬菜商品保鲜期短、需求波动大的背景下，制定最优的定价和补货策略。题目主要涉及以下四个问题：

问题1： 分析蔬菜各品类及单品销售量的分布规律及相互关系。
问题2： 以品类为单位，制定未来一周的补货总量和定价策略，使商超收益最大化。
问题3： 针对单品制定补货计划，控制单品数量并满足最小陈列量的要求，优化单品补货量和定价策略。
问题4： 提出需要采集的额外数据及其对补货和定价决策的帮助。

三、解题思路

问题1：销售量分布规律及相互关系

目标： 分析各品类及单品的销售量分布规律，找出不同品类或单品之间的相互关系。

建模步骤：

数据预处理： 读取销售数据，处理缺失值，转换数据类型。
描述性统计分析： 计算各品类及单品的销售量的均值、方差、中位数等描述性统计量。
时间序列分析： 对销售数据进行时间序列分析，识别销售趋势和季节性变化。
相关性分析： 计算品类与单品之间的销售量相关系数，确定相互影响关系。

问题2：品类级别的补货计划与定价策略

目标： 以品类为单位，通过需求预测和成本加成定价，制定未来一周的补货计划和定价策略。

建模步骤：

需求预测： 利用时间序列模型（如ARIMA、指数平滑等）预测未来一周各品类的需求量。
定价模型： 采用成本加成定价方法，建立定价模型，考虑损耗率的影响。
优化模型： 建立收益最大化的优化模型，约束条件包括每日需求量、库存限制和损耗率。

问题3：单品级别的补货计划与定价策略

目标： 在控制单品数量和满足最小陈列量的要求下，优化单品的补货量和定价策略。

建模步骤：

单品选择： 使用整数规划模型选择最优单品组合，确保总单品数量在27-33个之间，并满足最小陈列量要求。
需求预测： 基于历史数据和季节性因素，对每个选定单品进行需求预测。
优化模型： 建立以收益最大化为目标的优化模型，决策变量为各单品的补货量和定价，约束条件包括库存空间、最小陈列量和需求预测结果。

问题4：补充数据的建议与分析

目标： 提出需要采集的额外数据，并分析这些数据对优化补货和定价决策的帮助。

建议数据：

顾客购买行为数据： 包括购物频次、购买量、偏好等，有助于更精确地预测需求。
市场竞争情况： 了解竞争对手的定价和促销策略，可以帮助调整自有商品的定价。
天气与节假日信息： 天气和节假日对蔬菜需求有重要影响，纳入预测模型可以提高准确性。

四、知识点解析

在解决上述问题的过程中，涉及多个重要的知识点和数学模型。以下是对这些知识点的详细解析：

1. 时间序列分析

时间序列分析用于预测未来的销售需求，常用的方法包括ARIMA模型、指数平滑等。这些方法通过分析过去的销售数据，识别趋势和季节性模式，从而对未来的需求做出合理预测。

ARIMA模型：适用于稳定的时间序列，通过自回归、差分和移动平均进行建模。
指数平滑：适用于含有趋势和季节性的时间序列，通过加权平均计算预测值。

2. 成本加成定价

成本加成定价是一种简单而有效的定价策略。商超在此方法中根据商品的进货成本，按一定比例加成，确定销售价格。此策略的关键在于准确计算加成比例，使其既能覆盖损耗和其他成本，又能最大化收益。

3. 优化算法

优化算法在补货决策中起关键作用。常用的优化算法包括线性规划、整数规划、贪心算法、动态规划等。

线性规划：用于求解具有线性目标函数和约束条件的优化问题。
整数规划：用于求解决策变量必须是整数的优化问题，如单品选择。
贪心算法：通过逐步选择最优局部解，逐步构建全局最优解，适用于某些简单的优化问题。

4. 相关性分析

相关性分析用于探索不同蔬菜品类或单品之间的销售量相互关系。皮尔森相关系数用于度量线性相关性，斯皮尔曼相关系数用于度量非线性关系。

五、模型建立与求解

根据上述分析，我们建立了多个数学模型来求解各个问题。以下是关键模型的简要描述：

1. 问题1的统计分析与相关性模型

# Python代码示例：问题1 - 相关性分析

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取数据
sales_data = pd.read_excel('附件2.xlsx')

# 描述性统计
desc_stats = sales_data.describe()

# 计算相关系数矩阵
correlation_matrix = sales_data.corr()

# 可视化相关系数矩阵
plt.matshow(correlation_matrix)
plt.colorbar()
plt.show()

2. 问题2的品类级别需求预测与定价优化

% MATLAB代码示例：问题2 - 品类级别的需求预测与定价优化

% 假设数据已导入并存储在变量中
% 使用时间序列预测未来一周的需求量
future_demand = zeros(7, 6); % 未来7天，6个品类
for i = 1:6
    data = historical_sales(:, i); % 历史销售数据
    model = fitARIMA(data); % 拟合ARIMA模型
    future_demand(:, i) = forecast(model, 7); % 预测未来7天
end

% 成本加成定价策略
markup_rate = 0.2; % 成本加成率
wholesale_prices = getWholesalePrices(); % 获取批发价格
optimal_prices = wholesale_prices * (1 + markup_rate);

% 计算收益
revenue = sum(future_demand .* optimal_prices, 2); % 逐日计算收益
total_revenue = sum(revenue); % 总收益

% 输出结果
disp('未来一周的最优定价策略和总收益:');
disp(optimal_prices);
disp(['总收益: ', num2str(total_revenue)]);

3. 问题3的单品级别优化模型

在单品级别的补货和定价优化中，目标是通过选择最优的单品组合和补货量，以实现商超收益的最大化，同时满足库存空间、最小陈列量和需求预测等约束条件。

建模步骤：

目标函数： 最大化单品的总利润。利润由销售价格和成本价差异乘以销售数量得到。
约束条件：
- 每个单品的订购量必须满足最小陈列量。
- 总单品数量限制在27到33个之间。
- 每个单品的库存量必须大于等于预测的需求量。

以下是实现该优化问题的Python代码示例：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 假设以下是已知的单品利润、最小陈列量、预测需求和库存数据
profits_per_unit = np.array([...])  # 每个单品的利润
min_display_qty = np.array([...])   # 最小陈列量
predicted_demand = np.array([...])  # 预测需求
inventory_limits = np.array([...])  # 库存限制

# 定义目标函数系数 (负收益最大化 -> 利润)
c = -profits_per_unit

# 定义约束矩阵和向量
A = np.vstack([
    np.eye(len(profits_per_unit)),  # 单品选择（满足最小陈列量）
    -np.eye(len(profits_per_unit)),  # 单品选择（满足库存限制）
    np.ones(len(profits_per_unit))  # 单品数量总和
])
b = np.concatenate([
    predicted_demand,  # 满足预测需求
    -min_display_qty,  # 满足最小陈列量
    [33]  # 单品总数最大为33
])

# 定义变量边界
x_bounds = [(0, None) for _ in range(len(profits_per_unit))]

# 使用线性规划进行优化
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=x_bounds, method='highs')

# 输出最优解
if result.success:
    print("最优单品补货量：", result.x)
    print("最大化收益：", -result.fun)
else:
    print("优化未成功：", result.message)

通过此优化模型，我们可以确定在控制单品数量和库存限制的前提下，哪种单品组合和补货量能够实现最大化收益。