先看 bbr，以 2 条流 bw 收敛为例，微分方程组如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=C\cdot \frac{g\cdot x}{g\cdot x+y}-x\\ \frac{dy}{dt}=C\cdot \frac{g\cdot y}{g\cdot y+x}-y\end{array}$

它对应下面的递推式：

$\{\begin{array}{l}{x}_t=C\cdot \frac{g\cdot x_{t-1}}{g\cdot x_{t-1}+y_{t-1}}\\ y_t=C\cdot \frac{g\cdot y_{t-1}}{g\cdot y_{t-1}+x_{t-1}}\end{array}$

很显然，通过递推式推导收敛性质非常方便：

• 当 n 趋向于无穷大时，趋向于一个定值 X，趋向于一个定值 Y。

即 x[n]，y[n] 不再变化时，递推式变成了方程组：

$\{\begin{array}{l}X=C\cdot \frac{g\cdot X}{g\cdot X+Y}\\ \\ Y=C\cdot \frac{g\cdot Y}{g\cdot Y+X}\end{array}$

解得两条直线的交点：$X=Y=\frac{C\cdot g}{g+1}$

然而直接分析微分方程组更容易，并且可以直接从相图中看出所以然，这也是我为什么一直用微分方程组表达的原因。

若要收敛，则：

$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=0\\ \\ \frac{dy}{dt}=0\end{array}$ 即：$\{\begin{array}{l}x=C\cdot \frac{g\cdot x}{g\cdot x+y}\\ \\ y=C\cdot \frac{g\cdot y}{g\cdot y+x}\end{array}$

看起来和递推式一模一样，但不同的是它可以看到收敛点是否稳定。我们画出相图，其实就是上面的图，两条直线将第一象限分割成了 4 个区域，我们分别分析在这 4 个区域中 $\frac{dx}{dt}$，$\frac{dy}{dt}$ 的符号即可，正号向右或向上，负号向左或向下，可得(为了画图方便，我将 g 放大到 2.5)：

由此轻易获得稳定的不动点，在 g > 1 时，$X=Y=\frac{C\cdot g}{g+1}$，若 0 < g < 1，则 x，y 是发散的。

接下来分析收敛速度，我这里不需要确定精确的数值关系，只需要一个定性关系，获得收敛速度和增益 g 的关系，因此就不需要线性化矩阵和求解特征方程了，只需要观测方程：

$f(x)=C\cdot \frac{g\cdot x}{g\cdot x+K}$

将 K 看作常量，当 g 增加时，f(x) 更快逼近 C，但 K 是一个与 f(x) 相对称的僵持量 f(y)，因此当 g 增加时，f(x)，f(y) 更快逼近稳定点 $X=Y=\frac{C\cdot g}{g+1}$

现在看 inflight 守恒算法，同样的假设下，微分方程组如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=C\cdot \frac{x\cdot R+I}{x\cdot R+I+y\cdot R+I}-x\\ \frac{dy}{dt}=C\cdot \frac{y\cdot R+I}{y\cdot R+I+x\cdot R+I}-y\end{array}$

按照和 bbr 类似方法可得到方程组：
$\{\begin{array}{l}{x}^{2}R+xyR+(I-C\cdot R)x-C\cdot I=0\\ y^{2}R+xyR+(I-C\cdot R)y-C\cdot I=0\end{array}$

依然定性分析收敛速度，随着 I 的增大，$\frac{dx}{dt}$，$\frac{dy}{dt}$更快接近 $\frac{1\cdot I}{2\cdot I}$，收敛越快，但 buffer 占量也随之增加。

两条曲线的夹角越大，收敛越快，这个可以在相图中用几何方法证明

给出一个 inflt 守恒数值解的代码，3 流收敛：

C, R = 10, 5
def dx(a, b, c, r, I):
  d = C* (a*R + I) / ((b + c)*r + a*R + I) - a
  return d

...
  x1[i] = x1[i-1] + (dx(x1[i-1], x2[i-1], x3[i-1], r[i-1], I)) * dt
  x2[i] = x2[i-1] + (dx(x2[i-1], x1[i-1], x3[i-1], r[i-1], I)) * dt
  x3[i] = x3[i-1] + (dx(x3[i-1], x1[i-1], x2[i-1], r[i-1], I)) * dt
  r[i] = (x1[i-1]*R + x2[i-1]*R + x3[i-1]*R + 3*I) / C

我们看到了 bbr 和 inflt 守恒算法的殊途同归。

但且慢，bbr 应该用我前面那篇文章(bbr 微观建模)里的模型，如此一来增益 g 就不再是常量，而与共存流的相位差有关了，假如两个流的相位差为 0，则 g = 1，退化为同步 mimd，永不收敛，但在统计意义上，大量流共存场景，这种现象属实大概率只存在一个 probertt 周期，这就是 bbr 代码在结束 probertt 之后随机部署 probebw phase 的意义。

然而 inflt 守恒算法没有这么多边角事。此后我会把 bbr 1.25X bdp 收敛的过程如何均匀平铺在整个时间轴的细节给出。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。