备战2024年全国大学生数学建模竞赛：多波束测线问题的解题与优化

一、引言

二、问题分析

三、解题思路与模型建立

问题1：覆盖宽度及重叠率计算

问题2：不同测线方向的覆盖宽度

问题3：最短测线的设计

问题4：基于单波束数据的测线设计

四、知识点解析

五、结果讨论与总结

六、模型的评价与推广

七、总结与建议

一、引言

全国大学生数学建模竞赛是一项考验学生利用数学方法解决实际问题能力的重要赛事。2023年B题聚焦于“多波束测线问题”，要求参赛者设计和优化多波束测线，以提高测绘效率和准确性。本文将详细分析该题目，建立数学模型并进行求解，同时提供一些Matlab代码示例，以帮助参赛者理解和应用相关方法。

二、问题分析

B题的核心是如何在复杂的海域环境中，通过优化多波束测线的布设，实现对目标区域的高效覆盖。具体问题包括：

问题1：在已知海底坡度和测线位置的情况下，计算多波束测深的覆盖宽度和相邻条带之间的重叠率。
问题2：考虑不同测线方向，建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。
问题3：设计测线长度最短的方案，确保完全覆盖矩形海域，并满足重叠率要求。
问题4：基于历史单波束测深数据，为多波束测量船设计最优测线布设方案。

三、解题思路与模型建立

问题1：覆盖宽度及重叠率计算

目标：计算在给定条件下（海底坡度、测线距离中心点位置），海水深度、覆盖宽度及重叠率。

Matlab代码示例：

% 参数设置
theta = 120; % 开角 (degrees)
alpha = 1.5; % 坡度 (degrees)
D_center = 70; % 中心点处的海水深度 (m)
x = -800:200:800; % 距中心点的距离 (m)

% 计算每个距离的海水深度
D = D_center - x * tand(alpha);

% 计算覆盖宽度
W = 2 * D * sind(theta / 2);

% 假设测线间距 d = 200 m
d = 200;
overlap_rate = 1 - d ./ W;

% 输出结果
fprintf('距离 (m), 海水深度 (m), 覆盖宽度 (m), 重叠率 (%%)\n');
disp([x', D', W', overlap_rate' * 100]);

问题2：不同测线方向的覆盖宽度

目标：在已知测线方向夹角情况下，计算覆盖宽度。

模型建立：

模型推广：将问题1中的二维模型扩展到三维，考虑测线方向的变化。假设测线在坡面上的投影与海平面形成的夹角为 ν\nuν，根据测线方向角度 β\betaβ 和坡度 α\alphaα 的关系，覆盖宽度可以被重新定义为：
$W=\frac{2D\cdot \sin \left ( \frac{\Theta }{2} \right )\cdot \cos \left ( v \right )}{\cos \left ( \beta -\alpha \right )}$
角度转换：通过测线方向夹角 β\betaβ 的变化，可以调整覆盖宽度公式，适应不同的方向延伸情况。

Matlab代码示例：

% 参数设置
theta = 120; % 开角 (degrees)
alpha = 1.5; % 坡度 (degrees)
D_center = 120; % 中心点处的海水深度 (m)
beta = [0, 45, 90, 135, 180]; % 测线方向角度 (degrees)

% 计算覆盖宽度
W_directional = zeros(length(x), length(beta));
for i = 1:length(beta)
    nu = atan(sind(beta(i)) * tand(alpha)); % 计算线面角
    W_directional(:, i) = 2 * D_center * cosd(nu) * sind(theta / 2) ./ cosd(beta(i) - alpha);
end

% 输出结果
fprintf('方向角 (degrees), 覆盖宽度 (m)\n');
disp([beta', W_directional]);

问题3：最短测线的设计

目标：在满足重叠率10%~20%的前提下，设计测线长度最短的方案，确保完全覆盖海域。

模型建立：

测线方向选择：为了避免测线条带覆盖宽度变化过大，选择沿等深线方向布设测线。
递推法计算测线间距：根据测线间距递推公式，依次确定每条测线的位置，确保测线长度最短且重叠率适中。

Matlab代码示例：

% 参数设置
length_nm = 2; % 南北长度 (海里)
width_nm = 4; % 东西宽度 (海里)
alpha = 1.5; % 坡度 (degrees)
D_center = 110; % 中心点处的海水深度 (m)
theta = 120; % 开角 (degrees)

% 计算最优测线间距
optimal_spacing = @(D) (1 - 0.15) * 2 * D * sind(theta / 2); % 平均重叠率15%

% 贪心算法优化测线布设
total_length = 0;
current_length = 0;
depths = [];

% 从南到北放置测线
while current_length < length_nm * 1852 % 将海里转换为米
    depth = D_center - current_length * tand(alpha);
    spacing = optimal_spacing(depth);
    total_length = total_length + spacing;
    current_length = current_length + spacing;
    depths = [depths, depth];
end

% 输出结果
fprintf('测线总长度：%.2f 海里\n', total_length / 1852);
disp('各测线间距及深度：');
disp(depths);

问题4：基于单波束数据的测线设计

目标：基于已有的单波束测深数据，为多波束测量船设计最优测线布设方案，计算测线总长度、漏测面积百分比和重叠率超过20%的部分总长度。

模型建立：

数据预处理：读取单波束测深数据，构建海底地形的等高线图。
分区设计：根据等高线划分海底地形区域，针对不同区域优化测线布设。
测线优化：采用主要目标法，以覆盖面积最大化为主要目标，同时控制重叠率在合理范围内，优化测线布局。

Matlab代码实现：

% 导入单波束数据
depth_data = xlsread('附件.xlsx'); % 假设数据在附件.xlsx中

% 计算等高线和梯度线
[contours, h] = contour(depth_data); % 计算等高线

% 绘制测线图
figure;
contour(depth_data);
hold on;
for i = 1:length(contours)
    plot(contours(i).X, contours(i).Y, 'r');
end
title('海底地形及测线设计');
xlabel('经度');
ylabel('纬度');

% 计算测线总长度和其他指标
total_length = 0; % 初始化总长度
overlap_excess_length = 0; % 初始化重叠率超过20%的部分总长度
missing_area_percentage = 0; % 初始化漏测海区面积百分比

% 模拟计算 (伪代码实现，具体实现需基于实际数据)
% for region = 1:num_regions
%     region_length = calculate_region_length(contours(region));
%     total_length = total_length + region_length;
%     % 根据

四、知识点解析

在解决多波束测线问题的过程中，涉及到多个关键知识点：

声学测深原理：通过分析声波传播在水中的行为，测量水深。这一过程依赖于声波的传播速度和传输时间。
几何建模：利用几何学方法，建立覆盖宽度和重叠率的数学模型，能够精准反映多波束声纳的测量特性。
优化算法：通过贪心算法、动态规划和主要目标法等优化策略，优化测线布设，确保测量的高效性和精度。
数据分析与处理：在数据预处理和模型构建过程中，数据的有效处理和分析是保证计算精度和模型可靠性的基础。

五、结果讨论与总结

通过上述模型建立和优化求解，我们得到了以下关键结论：

覆盖宽度和重叠率的精确计算：通过数学模型，我们能够精确计算不同条件下的覆盖宽度和重叠率，为优化测线布设提供数据支持。
最优测线设计：采用优化算法，可以设计出在满足覆盖和重叠率要求的前提下，测线总长度最短的布设方案，提高了测量的效率和准确性。
基于数据驱动的优化：通过分析单波束测深数据，构建海底地形模型，能够实现对复杂地形的多波束测线优化，进一步提升了测量效果。

六、模型的评价与推广

优点：

科学性强：模型构建基于严格的几何和物理关系，能够真实反映实际测量条件。
适应性好：模型和算法具有良好的适应性，可以根据不同测量需求和地形条件进行调整和优化。

缺点：

假设条件较多：如假设海底坡度均匀、测量船航行稳定等，实际测量中可能会有偏差。
计算复杂度较高：在处理大规模数据和复杂地形时，计算量较大，需要优化算法和计算资源支持。

推广应用：

实际测绘应用：模型和算法可以推广至实际的海洋测绘任务中，为多波束测量提供指导。
进一步研究：本文的研究可以作为基础，应用于其他复杂地形的多波束测深系统研究中。

七、总结与建议

本文详细解析了2023年全国大学生数学建模竞赛B题，围绕多波束测线问题，构建了覆盖宽度和重叠率的计算模型，并通过优化算法设计了最优测线方案。希望通过本文的讲解，能够帮助参赛者更好地理解和解决竞赛中的复杂问题，提高解题能力和实践技能。

知识点总结表

知识点	描述	应用
声学测深原理	利用声波在水中的传播时间和速度来测量水深。	计算水深，优化多波束覆盖范围。
几何建模	利用几何关系计算覆盖宽度和重叠率。	建立模型，分析不同条件下的测线覆盖情况。
优化算法	使用贪心算法、动态规划等方法优化测线布设。	设计最优测线布局，确保测量精度和效率。
数据分析与处理	通过数据预处理、等高线划分等方法分析单波束测深数据。	提高数据质量，构建精确的海底地形模型。
数学公式推导	推导声学覆盖公式及重叠率计算公式。	提供数学基础，确保模型计算的准确性。
线面夹角计算	计算测线在不同方向的投影角度。	确定测线方向，调整覆盖宽度。
多目标优化方法	同时优化测线长度和重叠率，确保测量的全面性和效率。	平衡测线总长度和重叠率，设计最佳的测线布设方案。
数据可视化技术	通过Matlab等工具绘制等高线图和测线布局图。	直观展示地形特征和测线设计，辅助优化决策。

模型与公式总结表

模型/公式	公式描述	说明
海水深度计算公式	D=D0−x⋅tan⁡(α)D = D_0 - x \cdot \tan(\alpha)D=D0−x⋅tan(α)	计算测线在不同距离处的海水深度。
覆盖宽度计算公式	W=2D⋅sin⁡(θ2)W = 2D \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)W=2D⋅sin(2θ)	计算多波束测深的覆盖宽度。
重叠率计算公式	η=1−dW\eta = 1 - \frac{d}{W}η=1−Wd	计算相邻条带之间的重叠率。
不同测线方向的覆盖宽度公式	W=2D⋅sin⁡(θ2)⋅cos⁡(ν)cos⁡(β−α)W = \frac{2D \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \cos(\nu)}{\cos(\beta - \alpha)}W=cos(β−α)2D⋅sin(2θ)⋅cos(ν)	考虑测线方向和坡度的影响，计算不同方向的覆盖宽度。
贪心算法求解模型	逐步增加测线，计算每次增加后的总长度和覆盖率，确保测线总长度最短。	用于设计测线长度最短的布设方案。
动态规划优化模型	基于测线位置和间距，递推计算最优测线布设方案，确保满足覆盖率和重叠率要求。	确保测量覆盖全面，重叠率合理。
主要目标法优化模型	以最大化覆盖面积为目标，同时控制测线长度和重叠率，求解最优测线布设方案。	适用于复杂地形的多目标优化设计。
Matlab数据可视化代码	使用Matlab代码绘制海底地形图和测线设计图。	提供数据可视化支持，直观展示模型结果。