目录
- 一、向量的定义
- 二、向量是有序的数字列表
- 三、向量的基本分类
- 四、向量的运算律
- 五、向量的基本运算
- 1、向量加法
- 2、向量乘法（数乘）
- 3、向量减法
- 4、点积（内积或数量积）
- 5、叉积（外积或向量积）
- 6、向量的模（长度或大小）
- 7、单位向量
- 8、向量的分量
一、向量的定义
向量（Vector）是数学中的一个基本概念，它具有大小和方向。在物理学和工程学中，向量常用于描述力、速度、加速度等物理量。向量可以用不同的方式表示，例如：
- 几何表示：在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个箭头，箭头的起点是原点，终点是向量指向的位置。
- 代数表示：在二维空间中，向量可以表示为 v
=
(
v
1
,
v
2
)
= (v_1,v_2)
=(v1,v2),其中
v
1
v_1
v1 和
v
2
v_2
v2 分别是向量在
x
x
x 轴和
y
y
y 轴的分量。在三维空间中，向量 v = (
v
1
,
v
2
,
v
3
)
v_1, v_2,v_3)
v1,v2,v3),
v
1
v_1
v1 和
v
2
v_2
v2 分别是向量在
x
x
x 轴和
y
y
y 轴的分量,
v
3
v_3
v3 表示在
z
z
z 轴上的分量。
- 矩阵表示：向量可以表示为一个列矩阵或行矩阵。例如：
在二维空间中，列矩阵表示为
[ v 1 v 2 ] \left[ \begin{matrix} {v_1} \\ {v_2} \end{matrix} \right] [v1v2]
行矩阵表示为
[ v 1 , v 2 ] \left[ \begin{matrix} {v_1} , {v_2} \end{matrix} \right] [v1,v2]
二、向量是有序的数字列表
向量作为有序的数字列表，是数学中用来表示大小和方向的量的一种方式。这种表示方法通常用于代数运算和向量空间中。以下是向量作为有序数字列表的一些关键特点：
- 有序性：向量中的每个分量必须按照特定的顺序排列，这种顺序通常从第一个分量到最后一个分量。
- 维度：向量的维度是指向量中的分量数量。例如，一个三维向量有三个分量。
- 分量：向量中的每个数字称为分量，它表示向量在某个特定方向上的投影。
- 列向量和行向量：
- 列向量：通常表示为一个竖直排列的数字列表，如
V = [ v 1 v 2 ⋮ v n ] V=\left[ \begin{matrix} {v_1} \\ {v_2} \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right] V= v1v2⋮vn - 行向量：表示为一个水平排列的数字列表，如
V = [ v 1 , v 2 , … , v n ] V=\left[ \begin{matrix} {v_1} ,v_2,\dots,v_n \end{matrix} \right] V=[v1,v2,…,vn]
- 列向量：通常表示为一个竖直排列的数字列表，如
- 坐标：在笛卡尔坐标系中，向量的分量可以被视为坐标，它们确定了空间中一个点的位置。
- 向量空间：向量可以构成向量空间，其中的元素可以进行加法和标量乘法运算。
- 基：在向量空间中，一组基向量可以通过它们的线性组合来表示空间中的任何向量。
- 零向量：所有分量都是零的向量称为零向量，它不指向任何方向，大小为零。
- 单位向量：大小为1的向量称为单位向量，它们只表示方向。
三、向量的基本分类
法向量：
向量与平面内的两条相交直线垂直，则说明向量是该平面的法向量。
自由向量：
与起点无关的向量。
单位向量：
模等于1的向量叫单位向量。
零向量：
模等于0的向量叫零向量，记作0 或
0
⃗
\vec 0
0。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。
向量相等：
如果两个向量 a 和 b 的大小相等且方向相同，我们就说向量 a 和 b 是相等的，记作a=b。也就是说经过平移后能够完全重合的向量是相等的。
四、向量的运算律
- 加法
- 交换律 : a ⃗ + b ⃗ = b ⃗ + a ⃗ \vec a + \vec b = \vec b + \vec a a+b=b+a
- 结合律： ( a ⃗ + b ⃗ ) + c ⃗ = a ⃗ + ( b ⃗ + c ⃗ ) (\vec a + \vec b ) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c) (a+b)+c=a+(b+c)
- 零向量：存在一个特殊的向量
0
⃗
\vec 0
0,使得对于任何向量
a
⃗
\vec a
a，都有
a
⃗
+
0
⃗
=
a
⃗
\vec a + \vec 0 = \vec a
a+0=a
- 标量乘法
- 分配律： c ( a ⃗ + b ⃗ ) = c a ⃗ + c b ⃗ c (\vec a + \vec b) = c \vec a + c \vec b c(a+b)=ca+cb
- 结合律： ( c 1 c 2 ) a ⃗ = c 1 ( c 2 a ⃗ ) (c_1c_2)\vec a = c_1(c_2 \vec a) (c1c2)a=c1(c2a)
- 单位元素：
1
a
⃗
=
a
⃗
1\vec a = \vec a
1a=a，其中 1 是标量乘法的单位元素。
- 数量积（点积）
- 交换律： a ⃗ ⋅ b ⃗ = b ⃗ ⋅ a ⃗ \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a a⋅b=b⋅a
- 分配律： c a ⃗ ⋅ b ⃗ = a ⃗ ⋅ c b ⃗ = c ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) c\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot c \vec b = c(\vec a \cdot \vec b) ca⋅b=a⋅cb=c(a⋅b)
- 正交性：如果
a
⃗
⋅
b
⃗
=
0
\vec a \cdot \vec b = 0
a⋅b=0，则
a
⃗
\vec a
a 和
b
⃗
\vec b
b 正交（垂直）。
- 向量积（叉积）
- 反交换律： a ⃗ × b ⃗ = − ( b ⃗ × a ⃗ ) \vec a \times \vec b = -(\vec b \times\vec a) a×b=−(b×a)
- 分配律： c a ⃗ × b ⃗ = a ⃗ × b ⃗ = c ( a ⃗ × b ⃗ ) c\vec a \times\vec b = \vec a \times \vec b = c(\vec a \times \vec b) ca×b=a×b=c(a×b)
- 正交性： a ⃗ × b ⃗ \vec a \times \vec b a×b 垂直于 a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b。
- 模长：
∣
a
⃗
×
b
⃗
∣
=
∣
a
⃗
∣
∣
b
⃗
∣
sin
(
θ
)
|\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin(\theta)
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin(θ)，其中
θ
\theta
θ 是
a
⃗
\vec a
a 和
b
⃗
\vec b
b之间的夹角。
- 混合积
-
a
⃗
⋅
(
b
⃗
×
c
⃗
)
\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)
a⋅(b×c)是一个标量，表示由向量
a
⃗
\vec a
a、
b
⃗
\vec b
b 和
c
⃗
\vec c
c 构成的平行四边形的有向面积。
-
a
⃗
⋅
(
b
⃗
×
c
⃗
)
\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)
a⋅(b×c)是一个标量，表示由向量
a
⃗
\vec a
a、
b
⃗
\vec b
b 和
c
⃗
\vec c
c 构成的平行四边形的有向面积。
五、向量的基本运算
1、向量加法
定义：两个向量相加，结果是一个新向量，其方向和大小由两个原始向量的和决定。
几何方法：将一个向量的终点与另一个向量的起点对齐，然后从第一个向量的起点到第二个向量的终点画一条向量。
代数方法：对应分量相加，即如果 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \vec{a} =(a_1,a_2,\dots,a_n) a=(a1,a2,…,an)和 b ⃗ = ( b 1 , b 2 , … , b n ) \vec{b} = (b_1,b_2,\dots,b_n) b=(b1,b2,…,bn)，那么 a ⃗ + b ⃗ = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ) \vec{a} + \vec{b} =(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n) a+b=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)
如图向量
a
⃗
\vec a
a 加上 向量
b
⃗
\vec b
b,步骤如下
- 作向量 b ⃗ \vec b b 的平行向量 c ⃗ \vec c c
- 向量 a ⃗ \vec a a 的终点指向向量 c ⃗ \vec c c 的起点
- 从 向量
a
⃗
\vec a
a 的起点 到 向量
c
⃗
\vec c
c 的终点连线，得到向量
v
⃗
\vec v
v
2、向量乘法（数乘）
定义：一个标量（实数）与向量相乘，结果是向量的大小按标量的比例放大或缩小，方向保持不变（如果标量为负，则方向相反）。
代数方法：将标量乘以向量的每个分量，即如果 c c c 是标量， a ⃗ = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \vec{a} =(a_1,a_2,\dots,a_n) a=(a1,a2,…,an)，那么 c a ⃗ c \vec a ca = ( c a 1 , c a 2 , … , c a n ) (ca_1,ca_2,\dots,ca_n) (ca1,ca2,…,can)
如图，表示对向量
a
⃗
\vec a
a 放大 2 倍 后的向量
b
⃗
\vec b
b
2
a
⃗
=
2
(
2
,
2
)
=
(
4
,
4
)
2 \vec a = 2(2,2) = (4,4)
2a=2(2,2)=(4,4)
3、向量减法
定义：从一个向量中减去另一个向量，结果是指向从第二个向量的终点指向第一个向量终点的向量。
代数方法：对应分量相减，即 a ⃗ − b ⃗ = ( a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , … , a n − b n ) \vec a - \vec b =(a_1 - b_1,a_2 -b_2,\dots,a_n - b_n) a−b=(a1−b1,a2−b2,…,an−bn)
如图向量 a ⃗ \vec a a 减去 向量 b ⃗ \vec b b,步骤如下
- 向量 a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a+b = a ⃗ + ( − b ⃗ ) \vec a + (-\vec b) a+(−b)
- 画出 b ⃗ \vec b b 的想反向量 u ⃗ \vec u u
- 作 u ⃗ \vec u u 的平行向量 c ⃗ \vec c c
- 从 向量 a ⃗ \vec a a 的起点 到 向量 c ⃗ \vec c c 的终点连线，得到向量 v ⃗ \vec v v
4、点积（内积或数量积）
定义：两个向量的点积是一个标量，等于两个向量的对应分量乘积之和。
公式：如果 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \vec{a} =(a_1,a_2,\dots,a_n) a=(a1,a2,…,an)和 b ⃗ = ( b 1 , b 2 , … , b n ) \vec{b} = (b_1,b_2,\dots,b_n) b=(b1,b2,…,bn)，那么 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n ) \vec a \cdot \vec b = (a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_nb_n) a⋅b=(a1b1+a2b2+⋯+anbn)
几何意义：点积还等于一个向量的长度与另一个向量在第一个向量方向上的投影长度的乘积。反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似。
基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为：
- a ⃗ ⋅ b ⃗ > 0 \vec a \cdot \vec b \gt 0 a⋅b>0则方向基本相同，夹角在0°到90°之间
- a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec a \cdot \vec b = 0 a⋅b=0则正交，相互垂直
-
a
⃗
⋅
b
⃗
<
0
\vec a \cdot \vec b \lt 0
a⋅b<0则方向基本相反，夹角在90°到180°之间
如图所示：
设
a
⃗
\vec a
a 的终点为
(
x
1
,
y
1
)
=
(
2
,
2
)
(x_1,y_1) = (2,2)
(x1,y1)=(2,2)，
b
⃗
\vec b
b 的终点为
(
x
2
,
y
2
)
=
(
4
,
0
)
(x_2,y_2) = (4,0)
(x2,y2)=(4,0)
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ = 4 × 2 2 × 2 2 = 8 \vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b| \cos\theta = 4 \times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}2 = 8 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=4×22×22=8
同时有
a
⃗
⋅
b
⃗
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
2
×
4
+
2
×
0
=
8
\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 = 2 \times 4 + 2 \times 0 =8
a⋅b=x1x2+y1y2=2×4+2×0=8
应用场景示例：
- 在机器学习中，向量数量积可以用来衡量两个特征向量之间的相似性。例如，在支持向量机（SVM）中，通过计算向量内积来确定样本点与决策边界的距离，从而进行分类。数量积的结果越大，表示两个向量越相似。
- 在计算机视觉中，向量数量积可以用来计算图像特征之间的相似性。例如，在图像识别和目标检测任务中，通过将图像转换为特征向量并计算它们之间的点积，可以识别图像中的对象。
5、叉积（外积或向量积）
定义：仅在三维空间中定义，它将两个向量映射到一个新的向量，两个向量的叉积是一个垂直于这两个向量的新向量。
公式：如果 a ⃗ = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \vec{a} =(a_1,a_2,a_3) a=(a1,a2,a3)和 b ⃗ = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) b=(b1,b2,b3)，
那么 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − b 2 a 1 ) \vec a \cdot \vec b =(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-b_2a_1) a⋅b=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−b2a1)
几何意义：叉积的大小等于由两个向量构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则。
从几何角度计算：( n ⃗ \vec n n为 a ⃗ \vec a a 与 b ⃗ \vec b b 所构成平面的单位向量)
a
⃗
×
b
⃗
=
∣
a
⃗
∣
∣
b
⃗
∣
sin
θ
n
⃗
\vec a \times \vec b = |\vec a| |\vec b| \sin \theta \vec n
a×b=∣a∣∣b∣sinθn
如图所示：
- 在向量 u ⃗ \vec u u 与 v ⃗ \vec v v 构成的平面中（平行四边形），过 C 点作 AB边的垂线交于F点
- Δ A B C \Delta ABC ΔABC的面积为 1 2 A B ⋅ C F \frac 12 AB \cdot CF 21AB⋅CF
- 平行四边形ABCE 的面积 = 2 × S Δ A B C 2\times S\Delta ABC 2×SΔABC
- CF = ∣ v ⃗ ∣ sin θ |\vec v| \sin \theta ∣v∣sinθ
- ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin θ |\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \theta ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ = 平行四边形ABCE的面积
右手法则：
- 按照右手法则，如果你的右手的食指指向向量 a ⃗ \vec a a 的方向，中指指向向量 b ⃗ \vec b b的方向，那么你的拇指指向的方向就是向量积 a ⃗ × b ⃗ \vec a \times \vec b a×b的方向。
- 向量积的方向取决于 a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b的排列顺序。如果你先 a ⃗ \vec a a 后 b ⃗ \vec b b 那么得到的向量积的方向是正的。如果你先 b ⃗ \vec b b 后 a ⃗ \vec a a 那么得到的向量积的方向是负的。换句话说， a ⃗ × b ⃗ = − ( b ⃗ × a ⃗ ) \vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a) a×b=−(b×a)
应用场景示例：
- 在需要处理三维空间数据的应用中，如机器人路径规划、物体姿态估计等，向量积用于计算两个向量之间的旋转，以及确定它们在空间中的相对方向。
- 在推荐系统中，用户和物品的特征向量可以通过点积来计算相似性，而向量积在某些情况下可以用来分析用户偏好的多维度特征之间的复杂关系。
6、向量的模（长度或大小）
定义：向量从起点到终点的距离。
公式：向量
a
⃗
\vec a
a 的模
∣
a
⃗
∣
|\vec a |
∣a∣ 可以通过 对
∣
a
⃗
∣
=
a
1
2
+
a
2
2
+
⋯
+
a
n
2
|\vec a | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2+\dots + a_n^2}
∣a∣=a12+a22+⋯+an2 计算
如图所示向量
a
⃗
\vec a
a 的起点坐标为（0,0），终点坐标为（2,2）它的模长计算如下：
∣
a
⃗
∣
=
2
2
+
2
2
=
2
2
|\vec a | = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}
∣a∣=22+22=22
7、单位向量
定义：模为1的向量，常用于表示方向。
公式：向量
a
⃗
\vec a
a 的单位向量
a
^
=
a
⃗
∣
a
⃗
∣
\hat a = \frac {\vec a}{|\vec a |}
a^=∣a∣a
8、向量的分量
定义：向量在坐标轴上的投影。
计算：向量
a
⃗
\vec a
a 在单位向量
x
^
,
y
^
,
z
^
\hat x,\hat y, \hat z
x^,y^,z^ 方向上的的分量分别为
a
1
,
a
2
,
a
3
a_1,a_2,a_3
a1,a2,a3
