拓扑排序是图论中的一个重要概念，它在许多领域如任务调度、课程规划等都有广泛的应用。在这篇文章中，我们将探讨拓扑排序的基本概念、算法实现以及在C/C++中的实现方法。
拓扑排序简介
拓扑排序是针对有向无环图（DAG）的一种排序算法，它将图中的所有顶点排成一个线性序列，使得对于任何一条有向边U→V，顶点U都在顶点V的前面。这样的排序不是唯一的，因为可能存在多个有效的拓扑排序。
基本概念
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有向无环图（DAG）：图中的边具有方向，且不存在环的图。环是指一个顶点序列，其中第一个顶点和最后一个顶点相同，并且序列中的每个顶点都直接或间接地指向下一个顶点。
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入度（In-degree）：图中每个顶点指向它的边的数量。在拓扑排序中，入度为0的顶点表示没有其他顶点指向它的顶点。
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拓扑序（Topological Order）：满足上述条件的顶点序列。
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算法原理
拓扑排序通常使用两种方法实现：
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基于Kahn算法的拓扑排序：
- 使用队列来存储所有入度为0的顶点。
- 从队列中取出一个顶点，将其加入到拓扑排序的结果列表中。
- 遍历该顶点的所有邻接点，将每个邻接点的入度减1。如果某个邻接点的入度变为0，则将其加入队列。
- 重复上述过程，直到队列为空。
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基于DFS的拓扑排序：
- 使用递归来实现深度优先搜索（DFS）。
- 访问一个顶点时，先递归地访问其所有未访问的邻接点。
- 将当前顶点标记为已访问，并将其加入拓扑排序的结果列表中。
- 这种方法通常使用栈来存储拓扑排序的结果，以保证先访问的顶点最后加入栈中。
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C/C++实现
下面我们将展示基于入度的算法在C++中的实现。
1. 定义图结构
首先，我们需要定义一个图结构，包括顶点、边以及顶点的入度。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Graph {
int V; // 顶点数
vector<vector<int>> adj; // 邻接表
vector<int> indegree; // 入度数组
public:
Graph(int V) : V(V), adj(V), indegree(V, 0) {}
void addEdge(int v, int w) {
adj[v].push_back(w);
indegree[w]++;
}
void topologicalSort() {
queue<int> q;
for (int i = 0; i < V; i++) {
if (indegree[i] == 0)
q.push(i);
}
vector<int> topOrder;
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
topOrder.push_back(u);
for (int v : adj[u]) {
indegree[v]--;
if (indegree[v] == 0)
q.push(v);
}
}
if (topOrder.size() != V)
cout << "Graph is not a DAG (Cycle detected)" << endl;
else
for (int i : topOrder)
cout << i << " ";
}
};2. 使用图结构
创建一个图实例，并添加边，然后调用`topologicalSort`方法进行拓扑排序。
int main() {
Graph g(6);
g.addEdge(5, 2);
g.addEdge(5, 0);
g.addEdge(4, 0);
g.addEdge(4, 1);
g.addEdge(2, 3);
g.addEdge(3, 1);
cout << "Topological Sort: ";
g.topologicalSort();
return 0;
}拓扑排序是处理有向无环图问题的有效工具，它在许多实际应用中都非常重要。通过上述C++代码，我们可以实现一个基本的拓扑排序算法，帮助我们理解和解决相关问题。
应用场景
- 任务调度：在任务之间存在依赖关系时，拓扑排序可以帮助确定任务的执行顺序。
- 课程规划：课程之间可能存在先修后修的关系，拓扑排序可以用来安排课程的上课顺序。
- 软件包管理：软件包之间可能存在依赖关系，拓扑排序可以用来确定安装顺序。
