1. 化串为数

接下来的这节，我们再来讨论一种十分另类的串匹配算法，也就是所谓的 Karp-Rabin 算法。回顾此前所介绍的几种串匹配算法，我们所面临的难题是一样的。也就是说在这里，我们每次比较的对象不再是单个字符，而是由一系列的字符所构成的串或者子串。因此，如果局部子串的长度为 m，那么对于所有的 n 个潜在的对齐位置，我们在最坏情况下都可能需要执行 m 次比对，因此在 最坏情况下，我们往往必须付出如此之高的代价。

那么，能否从中自然地剔除掉这个因子 m 呢？我们马上就会看到一种别致的方法，也就是将每一个串视作为一个数。正确切地讲，应该是整数。不难理解，果真若能实现这种转换，那么任何两个串之间的比较，都相当于整数之间的比较，从而我们只需花费常数的时间，也就是说与字符串的长度无关。那么这些美好的设想能够实现吗？答案是能够。

实际上，不少前贤先哲都已经指出，包括串在内的万事万物，其实本质上讲都是数，或者确切地讲是整数。没错，整数。它们才是自然的本源。

2. 凡物皆数

是的，凡物皆数。关于自然的本源，这是很多人所秉持的一种信念，在我看来，其中最坚定的信奉者，同时也是最高明的实践者，莫过于哥德尔。比如，为了证明伟大的不完备定理，他发明了一种简洁而强大的编号方式，来对逻辑系统中几乎所有的组成部分统一以自然数来做标识，这种编号是基于素数序列来完成的。

我们知道，素数虽然是无限的，但同时也是可数的。因此，我们可以用 p(k) 来指代第 k 个素数，比如前几个都众所周知，首先是2，第二个是3，第三个是5，第四个为7以及第五个是11，诸如此类。

那么哥德尔敏锐地发现，任何一个有限维度的自然数向量，按照某种法则都会唯一的对应于某个自然数。

比如，我们考察这样一个有整数构成的 8 维向量，它的各个分量依次为3 1 4 1 5 9 2 6。我们现在来找出它所对应的那个自然数。既然是 8 维，所以我们首先要搬出前 8 个素数，也就是 2 3 5 7 11 13 17 19，这 8 个素数将分别与向量的 8 个分量一 一配对。
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第 1 个分量为3，所以我们相应地将它转换为第一个素数，2 的 3+1 也就是4次方；第 2 个分量为 1，所以我们也将它转化为第二个素数 3的 1+1，也就是2次方；第 3 个分量是4，所以我们也将它转化为第三个素数 5 的 4 + 1，也就是5次方；以下依次类推。我可以得到第 4 个素数的 1+1 次方，第 5 个素数的 5+1 次方，第 6 个素数的9+1次方，第 7 个素数的 2+1 次方，以及最后第 8 个素数的 6+1 次方。

显然，这 8 个因子的乘积依然应该是一个自然数。也就是说，如此我们的确可以将任何一个向量转化为一个自然数。而这种转换方法还具有一个更为精妙、更为神奇的特征，根据如此得出的一个自然数，我们还可以反过来忠实地还原此前的向量。

我想，点破了这层窗户纸之后，你应该能够独立地看出这种还原的方法，对吧？

3. 亦是数

既然万事万物的本源都对应于自然数，那么串也自然应该对应于数。接下来我们就来看看这句话如何兑现。

首先来考虑一种我们最为熟悉的串，也就是由十进制数字所构成的串。比如，由阿拉伯数字所构成的这样一个串。如果我要说这个串是一个自然数，我想你不会有任何异议的，没错，这就是我们最常用的技术方法，那么一般的串呢？

应该还记得我们的约定，组成字符串的每一个字符都来自于事先约定的某个字母表，而在这里，字母表的规模又是至关重要的。如果将它记作 d，那么字母表中的所有字符也就可以按照任何一种次序，与0到 d -1 之间的整数一 一对应了。于是，基于这个字母表所建立起来的任何一个字符串都可以视作为一个 d 进制的自然数。

不妨考察，以26个大写英文字母所构成的字符集，于是，由大写字母所构成的任何一个英文单词也必然对应于某个 26 进制的自然数。
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比如在单词 cat 中，c 对应的编号为2，a 对应于0，而 t 对应于19。如果你关心这个数字的具体数值，不妨借用一下我们在第4章所给出的进制转换算法。

不过这个方法还存在一点小小的瑕疵，好在修补这个瑕疵并不困难，这个任务不妨由你独立地来完成（上图已经给出方法）。

既然每一个串都可以对应于一个自然数，那么接下来很自然的一个模式串在某个主串中能够出现，仅当这个子串在数值上与模式串相当。

请注意，经过这样的视角转换，我们已经在无形中将串与串的比对，转化为了整数与整数的比对， 也就是说，串与串之间的比对将有望在常数的时间内完成。

果真如此，以上也就自然给出了一个串匹配的算法。的确如此，我们已经朝着这个方向迈出了最重要的一步，尽管我们还需要做更多细致的工作。