1. 什么是DPO？

直接偏好优化（Direct Preference Optimization, DPO）是一种不需要强化学习的对齐算法。由于去除了复杂的强化学习算法，DPO 可以通过与有监督微调（SFT）相似的复杂度实现模型对齐，不再需要在训练过程中针对大语言模型进行采样，同时超参数的选择更加容易。

2. Bradley-Terry模型

Bradley-Terry模型对比较关系进行建模，设 $A$ 的实力为 ${\lambda }_1$，$B$ 的实力为 ${\lambda }_2$，那么 $A$ 和 $B$ 对战，$A$ 战胜 $B$ 的概率为：

$$P(A>B)=\frac{e^{{\lambda }_1}}{e^{{\lambda }_1}+e^{{\lambda }_2}}=\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_1+{\alpha }_2},{\alpha }_1\triangleq e^{{\lambda }_1},{\alpha }_2\triangleq e^{{\lambda }_2}$$

因为无法保证 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 一定大于0，所以需要用softmax函数处理一下。

举一个例子，假设有如下的胜负表：

对战	胜	负
A vs B	8	4
A vs C	3	5

若要求 $B$ 战胜 $C$ 的概率，我们需要知道 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的值。首先可以得到似然函数：

$$L={\left(\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_1+{\alpha }_2}\right)}^8{\left(\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1+{\alpha }_2}\right)}^4{\left(\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_1+{\alpha }_3}\right)}^3{\left(\frac{{\alpha }_3}{{\alpha }_1+{\alpha }_3}\right)}^5$$

对对数似然函数求偏导可以得到 ${\alpha }_2=\frac{1}{2}{\alpha }_1,{\alpha }_3=\frac{5}{3}{\alpha }_1$。于是

$$P(B>C)=\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_2+{\alpha }_3}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{5}{3}}=\frac{3}{13}$$

2.1 奖励模型的训练

奖励模型的训练涉及到正例 $(x,y^{+})$ 和负例 $(x,y^{-})$，其中 $x$ 是prompt，$y$ 是response。由于 $r(x,y)$ 可能是负数，因此在使用Bradley-Terry建模时，需要预先过一下softmax：

$$\begin{array}{rl}P(y^{+}>y^{-}|x)& =\frac{\exp (r(x,y^{+}))}{\exp (r(x,y^{+}))+\exp (r(x,y^{-}))}=\frac{1}{1+\exp (r(x,y^{-})-r(x,y^{+}))}\\ & =\sigma (r(x,y^{+})-r(x,y^{-}))\end{array}$$

其中 $\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ 是Sigmoid函数。训练奖励模型实际上就是最大化 $P(y^{+}>y^{-}|x)$ 的过程，这等价于最小化 $-\log P(y^{+}>y^{-}|x)$，因此可以得到奖励模型训练的损失函数：

$${\mathcal{L}}_{\text{RM}}=-{\mathbb{E}}_{(x,y^{+},y^{-})\sim \mathcal{D}}[\log \sigma (r(x,y^{+})-r(x,y^{-}))]$$

这一过程实际上是对比学习，奖励模型需要学习在提升正例分数的同时，进一步降低负例的分数，以最大化正例和负例之间的分数差异。

3. 从PPO到DPO

传统的RLHF算法需要先在人类偏好数据上训练一个奖励模型，然后再使用这个奖励模型和相关的强化学习算法（如PPO）去指导LLM进一步学习，但这种做法有如下弊端：

• 奖励建模的过程较为复杂，需要额外的计算开销。
• 强化学习流程复杂，过程不稳定，且对超参数敏感。

DPO可以直接让策略模型在人类偏好数据上学习，省去了构建奖励模型和进行强化学习的步骤，故得名直接偏好优化（Direct Preference Optimization）。

我们先来看使用KL散度作为正则项的PPO算法，为了推导更为简便，我们可以将优化目标重写为下式：

$$\underset{{\pi }_{\theta }}{\max }{\mathbb{E}}_{x\sim D,y\sim {\pi }_{\theta }}[r(x,y)]-\beta \text{KL}[{\pi }_{\theta }(y|x)\Vert {\pi }_{\text{ref}}(y|x)]$$

其中 $r(x,y)$ 是奖励函数，${\pi }_{\theta }$ 是策略模型（待训练的模型），${\pi }_{\text{ref}}$ 是参考模型（冻结），两者均从SFT模型初始化得来。在RLHF阶段，我们一方面需要最大化奖励，一方面又不能让策略模型偏离参考模型太远。

注意到 $P(y^{+}>y^{-}|x)$ 仅跟 $r(x,y)$ 有关，如果我们能够找到 ${\pi }_{\theta }$ 和 $r(x,y)$ 之间的关系，我们就能用 ${\pi }_{\theta }$ 去表示 $P(y^{+}>y^{-}|x)$，进而就能规避奖励建模的过程。这样一来，LLM就能够通过与强化学习等价的形式学习到人类的价值观和偏好。

考虑对PPO的优化目标进行变换：

$$\begin{array}{rl}& \underset{{\pi }_{\theta }}{\max }{\mathbb{E}}_{x\sim D,y\sim {\pi }_{\theta }}[r(x,y)]-\beta \text{KL}[{\pi }_{\theta }(y|x)\Vert {\pi }_{\text{ref}}(y|x)]\\ =& \underset{{\pi }_{\theta }}{\max }{\mathbb{E}}_{x\sim D}{\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }(y|x)}\left[r(x,y)-\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y|x)}\right]\\ =& \underset{{\pi }_{\theta }}{\min }{\mathbb{E}}_{x\sim D}{\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }(y|x)}\left[\log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y|x)}-\frac{1}{\beta }r(x,y)\right]\\ =& \underset{{\pi }_{\theta }}{\min }{\mathbb{E}}_{x\sim D}{\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }(y|x)}\left[\log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y|x)}+\log \frac{1}{\exp (\frac{1}{\beta }r(x,y))}+\log \frac{1}{\frac{1}{Z(x)}}-\log Z(x)\right]\\ =& \underset{{\pi }_{\theta }}{\min }{\mathbb{E}}_{x\sim D}{\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }(y|x)}\left[\log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{\frac{1}{Z(x)}{\pi }_{\text{ref}}(y|x)\exp (\frac{1}{\beta }r(x,y))}-\log Z(x)\right]\end{array}$$

其中 $Z(x)$ 是我们额外引入的配分函数，定义为

$$Z(x)=\sum _y{\pi }_{\text{ref}}(y|x)\exp \left(\frac{1}{\beta }r(x,y)\right)$$

现定义

$${\pi }^{\ast }(y|x)=\frac{1}{Z(x)}{\pi }_{\text{ref}}(y|x)\exp \left(\frac{1}{\beta }r(x,y)\right)$$

容易发现 ${\pi }^{\ast }$ 满足以下两个性质：

• ${\pi }^{\ast }(y|x)\ge 0$。
• ${\sum }_y{\pi }^{\ast }(y|x)=1$。

这说明 ${\pi }^{\ast }$ 是一个概率分布，我们将它代回原式并继续推导：

$$\begin{array}{rl}& \underset{{\pi }_{\theta }}{\min }{\mathbb{E}}_{x\sim D}{\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }(y|x)}\left[\log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }^{\ast }(y|x)}-\log Z(x)\right]\\ =& \underset{{\pi }_{\theta }}{\min }{\mathbb{E}}_{x\sim D}\left[{\mathbb{E}}_{y\sim {\pi }_{\theta }(y|x)}\left[\log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }^{\ast }(y|x)}\right]-\log Z(x)\right]\\ =& \underset{{\pi }_{\theta }}{\min }{\mathbb{E}}_{x\sim D}\left[\text{KL}[{\pi }_{\theta }(y|x)\Vert {\pi }^{\ast }(y|x)]-\log Z(x)\right]\end{array}$$

注意到配分函数 $Z(x)$ 与 ${\pi }_{\theta }$ 无关，因此可以视为常数，所以只需要最小化KL散度这一项。根据Gibbs不等式，我们可以直接得到最优解：

$${\pi }_{\theta }(y|x)={\pi }^{\ast }(y|x)=\frac{1}{Z(x)}{\pi }_{\text{ref}}(y|x)\exp \left(\frac{1}{\beta }r(x,y)\right)$$

接下来推导 $r(x,y)$ 和 ${\pi }_{\theta }$ 之间的关系。对上式移项可得：

$$\begin{array}{rl}\exp \left(\frac{1}{\beta }r(x,y)\right)& =\frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y|x)}\cdot Z(x)\\ r(x,y)& =\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y|x)}+\beta \log Z(x)\end{array}$$

我们将这个表达式代入到之前的 $P(y^{+}>y^{-}|x)$ 中可得：

$$\begin{array}{rl}P(y^{+}>y^{-}|x)& =\sigma (r(x,y^{+})-r(x,y^{-}))\\ & =\sigma \left(\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{+}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{+}|x)}+\beta \log Z(x)-\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{-}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{-}|x)}-\beta \log Z(x)\right)\\ & =\sigma \left(\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{+}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{+}|x)}-\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{-}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{-}|x)}\right)\end{array}$$

最终得到DPO的目标函数：

$${\mathcal{L}}_{\text{DPO}}=-{\mathbb{E}}_{(x,y^{+},y^{-})\sim \mathcal{D}}\left[\log \sigma \left(\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{+}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{+}|x)}-\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{-}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{-}|x)}\right)\right]$$

可以发现 ${\mathcal{L}}_{\text{DPO}}$ 与 ${\mathcal{L}}_{\text{RM}}$ 的形式十分接近，即DPO具有以下形式的隐式奖励函数：

$$r_{\theta }(x,y)=\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y|x)}$$

这也回应了DPO论文标题中的「Your Language Model is Secretly a Reward Model」。

接下来可以总结一下DPO的流程了：

• 从 ${\pi }^{\text{SFT}}$ 初始化 ${\pi }_{\theta },{\pi }_{\text{ref}}$。
• 对于每个 $x$，用 ${\pi }_{\text{ref}}$ 采样一对答案 $(y_1,y_2)$，再让人工标注者去标注，以离线的方式构建人类偏好数据集 D = { x i , y i + , y i − } i = 1 N \mathcal{D}=\{x_i,y_i^+,y_i^-\}_{i=1}^N D={xi​,yi+​,yi−​}i=1N​。
• 通过最小化 ${\mathcal{L}}_{\text{DPO}}$ 来不断优化 ${\pi }_{\theta }$。

4. DPO的简单实现

为方便计算，我们对 ${\mathcal{L}}_{\text{DPO}}$ 做个简单的变形：

$${\mathcal{L}}_{\text{DPO}}=-{\mathbb{E}}_{(x,y^{+},y^{-})\sim \mathcal{D}}\left[\log \sigma \left(\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{+}|x)}{{\pi }_{\theta }(y^{-}|x)}-\beta \log \frac{{\pi }_{\text{ref}}(y^{+}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{-}|x)}\right)\right]$$

一种简单的实现：

def dpo_loss(policy_chosen_logps, policy_rejected_logps, ref_chosen_logps, ref_rejected_logps, beta):
    """
    Compute the simplified DPO loss with sigmoid loss type.

    Args:
        policy_chosen_logps: Log probabilities of the policy model for the chosen responses. Shape: (batch_size,)
        policy_rejected_logps: Log probabilities of the policy model for the rejected responses. Shape: (batch_size,)
        ref_chosen_logps: Log probabilities of the reference model for the chosen responses. Shape: (batch_size,)
        ref_rejected_logps: Log probabilities of the reference model for the rejected responses. Shape: (batch_size,)
        beta: Temperature controlling strength of KL penalty

    Returns:
        losses: The DPO loss for each example in the batch.
        chosen_rewards: Rewards for the chosen responses.
        rejected_rewards: Rewards for the rejected responses.
    """

    # Calculate log-ratios
    policy_logratios = policy_chosen_logps - policy_rejected_logps
    ref_logratios = ref_chosen_logps - ref_rejected_logps

    # Compute logits for sigmoid loss
    logits = policy_logratios - ref_logratios

    # Sigmoid loss type
    losses = -F.logsigmoid(beta * logits)

    # Compute rewards
    chosen_rewards = beta * (policy_chosen_logps - ref_chosen_logps).detach()
    rejected_rewards = beta * (policy_rejected_logps - ref_rejected_logps).detach()

    return losses, chosen_rewards, rejected_rewards

5. 梯度分析

通过对DPO的目标函数求导，我们可以深入理解DPO算法如何针对LLM的参数进行优化。

令 $u=\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{+}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{+}|x)}-\beta \log \frac{{\pi }_{\theta }(y^{-}|x)}{{\pi }_{\text{ref}}(y^{-}|x)}$，利用Sigmoid函数的性质，我们有：

$$\begin{array}{rl}\nabla {\mathcal{L}}_{\text{DPO}}& =-{\mathbb{E}}_{(x,y^{+},y^{-})\sim \mathcal{D}}[\nabla \log \sigma (u)]=-{\mathbb{E}}_{(x,y^{+},y^{-})\sim \mathcal{D}}\left[\frac{\nabla \sigma (u)}{\sigma (u)}\nabla u\right]\\ & =-{\mathbb{E}}_{(x,y^{+},y^{-})\sim \mathcal{D}}\left[\sigma (-u)\nabla u\right]\\ & =-{\mathbb{E}}_{(x,y^{+},y^{-})\sim \mathcal{D}}\left[\sigma (r_{\theta }(x,y^{-})-r_{\theta }(x,y^{+}))\cdot (\nabla \log {\pi }_{\theta }(y^{+}|x)-\nabla \log {\pi }_{\theta }(y^{-}|x))\right]\end{array}$$

其中 $r_{\theta }$ 是上文提到的隐式奖励函数。

通过对上述目标函数的导数进行分析，可以发现优化过程中会增大 $\log {\pi }_{\theta }(y^{+}|x)$ 与 $\log {\pi }_{\theta }(y^{-}|x)$ 之间的差异。这表明优化过程中训练模型向符合人类偏好的内容靠近 $(y^{+})$，同时尽量避免生成不符合人类偏好的内容 $(y^{-})$。

此外，公式的前半部分 $\sigma (r_{\theta }(x,y^{-})-r_{\theta }(x,y^{+}))$ 可以看作是梯度的系数，动态地控制梯度下降的步长。可以发现，当策略模型更倾向于生成不符合人类偏好的内容 $y^{-}$ 时，$r_{\theta }(x,y^{-})$ 和 $r_{\theta }(x,y^{+})$ 之间的差值变大，导致梯度下降的步长变大，从而进行更为激进的参数更新，以避免生成 $y^{-}$。反之，当策略模型倾向于生成符合人类偏好的内容 $y^{+}$ 时，说明策略模型当前具备较好的参数。此时梯度的系数变小，这会使得策略模型的参数的更新幅度降低，防止更新步长过大使得策略模型的性能出现震荡，增加训练的稳定性。

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Ref

[1] https://www.bilibili.com/video/BV1GF4m1L7Nt/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click
[2] 《大模型综述》
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Bradley%E2%80%93Terry_model