黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 510631）
[摘要]任何图≌自己这一几何最起码常识凸显初等数学一直将无穷多各异直线（平面）误为同一线（面）。数集相等的定义凸显：初数应有几何起码常识:至少有两个元点的图形平移非0距离不是变回自己的变换。从而表明“R轴沿本身平移非0距离是变回自己的变换”这一初数“常识”其实是将无穷多各异假R轴误为R轴的肉眼直观错觉。指出元点不少于两个的任何图形W作刚体运动只能使W发生“错位”变换而绝不能使W变为其真子集，从而表明“射线W沿其正向平移可变为其真子集”这一初数“常识”是将根本不是W的真子集误为其真子集的肉眼直观错觉——百年病态集论的症结。保距变换和≌图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使人能一下子看到有形状相同但大小不同的伪重合、伪≌射线、看到N=｛0，1，2，…，n，…｝以外的标准自然数，且是数学“x光机”使人能看到有外部形状相同但内部形状不同的伪≌点集。
[关键词]“更无理”的N（R）外标准自然数(实数)；等长却不等形的伪≌直线段；貌似重合的伪二重点集；将伪N（R）误为N（R）；推翻：百年集论和直线（平面）公理
创造型人才的突出特征：敢于独立思考，不愿人云亦云随大流做分数的奴隶。初等数学中定义域均为R的一次函数y=kx（正常数k≠1）、y=x+k（k≠0）的值域问题是师生们不屑一顾的初数中的初数，然而数集相等的定义凸显初数一直搞错了y的值域而将无穷多各异假R误为R。人类认识自然数已有5000多年，公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段起码已有3000多年。这使初数中关于自然数和直线段的理论是初数中的初数。本文指出初数一直将“自然数集”N外数误为N内数从而将无穷多各异假N误为N且一直将各异直线段误为同一线段。化学是在原子、分子水平上来研究物质，坐标法使数学能在“点子”水平上来研究几何图形。本文指出在“点子”水平上来研究图形及图形的变换就可一下子明白:凡～无穷点集W的点集必≠W的任何真子集（见第三节）；从而表明初数一直有将根本不是W的真子集误为其真子集的错误。2300年前的古人认为凡懂什么是直线的人都知过两异点只能画一条直线从而有初中的2300年直线公理，继而有平行公理和平面公理等。然而数集相等概念和任何图≌自己这一几何最起码常识凸显直线（平面）公理使初数一直将无穷多各异直线（平面）误为同一线（面）。小学生都知“等长的直线段必≌”，然而保距变换概念揭示有等长却互不≌的直线段。
相比下本文第一、二节所述的数学对点集的认识还是比较肤浅的很不够深入的认识，第三节对点集的认识才是比较深入的先进认识；深入才能浅出，浅入就只能“深出”。
一、不识“更无理”数使初等数学一直将各异直线（直线段）误为同一点集
从代数角度来说至少能代表两个数的字母x就是变量，只能代表一个数的x是固定量（特殊的变量：其变域是一元集的变量）。变量x所取各数也均由x代表，x代表其变域（x所有能取的数组成的集）内任一元。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，｛x｝中变量x的变域是A。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。“实数集”R所有非负元x≥0组成R+=｛x≥0｝，这里的x≥0不是表示x可取一切非负数而只是表示x可取R一切非负数；变量n取自然数∈N，“自然数集”N一切≥1的元n≥1组成N+=｛n≥1｝中的n≥1只是表示n可取N一切≥1的自然数。其余类推。R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xn（n≥2）等等。
复平面z伸缩（平移）变换为kz（k是非1正实常数）面（z+k面）就使x轴⊂z面沿本身伸缩（平移）变换为u=kx轴（u=x+k轴）。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0）。数集A可几何化为数轴上的点集A从而使x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在“管道”g内（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点）。R可几何化为R轴，R各元x可几何化为R轴各元点x。数学图可是“离散”的点组成的点集｛0，1｝（各数是点的坐标）。设本文所说集合往往是元不少于两个的集，“区间”就是课本上说的直线段（开或闭等）⊂相应数轴所有元点的坐标组成的集。定义：若数（点）集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。
…
二、图说：据数集相等定义证明R各元x的对应数x+1的全体≠R——初等几何应有最起码常识：当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的图（元点不少于两个）重合
…
三、在“点子”水平上来研究点集就能一眼看出“一一对应”变换是不能使任何非空点集变为其真子集的变换
有了面粉等食用材料还需有制作方法才能使面粉等变为面条等，同一袋面粉可制成面条也可制成馒头；构造数列的材料可是数，有了各数还须有规定各数如何排列使其分别处于哪一位置的法则才能确定一数列。数列｛1，2，3｝与｛3，2，1｝不是同一列，但它们的构造材料都是1、2、3这三个数。可见对给定的数列A，不改变构造材料只改变构造方法就能使A变为另一数列。构造点集的材料可是“点”，有了构造材料还须有规定各材料点如何排列聚集的法则才能使各点聚集成各不同图形，“各点的纵标y与横标x的关系只能是y=x”就是一种规定各点分别处于哪一位置的法则。同一个固定点p,其坐标可随着坐标系的选取的不同而不同，所以表示点的位置的坐标与点本身有根本区别。永不在同一位置的两质点a与b形成的点集作保（变）距运动可形成无穷多各异点集，构造各点集的材料均是这两点a与b。所以如2所述，质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数（数组）集所没有的独特性质：构造两异点集的构造材料点可完全相同(不是元相同)，正如两异数列的组成成员可完全相同一样。数形结合须跃出根本误区。注：集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例N各元n变为1组成的集由无穷多个1组成，但其元却只有一个。
追根究底地深入到“点”这一层次上来说图A变为B是因构造A的各构造材料点p按规定分别移动到新的位置变为新的点p′（变位前、后的点是同一材料点）形成新的点集B。非常显然：非空点集A只有失去了部分构造材料点才能变为其真子集V⊂A。“偷工减料”地挖去点集W一部分构造材料点使W变为V⊂W,这一减料变换使减料前、后的点集是构造材料点不相同的点集。显然任一点集W若有非空V⊂W则V只能包含W一部分构造材料点。“管道”g内点集W=｛-1，0，1｝各元点x不保距地运动到新的位置变为还在g内的新的点x+δ=x2（形成新点集｛1，0，1｝），其中有两元点∈W运动后还回到原位置即新位=原位，有一元点-1运动后与元点1重合在同一位置内从而使W失去了一个材料点（这等价于W失去了一个元）而变为W的真子集V=｛0，1｝，V与W是构造材料不同的点集。刚体运动不能使点集的构造材料点有任何减少，例直线A：y=1平移变为直线B：y=2，平移前、后的图是同一图说明A与B≌A是构造材料点完全相同的点集。A变为B≌A是刚体运动（运动的距离可=0），这种变换是不改变构造材料（组成成员）只保距改变各材料点位置的“变位不变料”变换，从而不能使点集变为其真子集。
不改变构造材料只改变构造方法（法则）就能使一点集变为另一点集。点集U=｛…｝均匀拉伸变换为V=｛. . .｝（U各点彼此保序拉开了一段距离形成V），相比下U（V）是组织结构较紧实（松散）的点集。当规定各点只能作位置改变而不能作别的改变时，不减材料点的均匀拉伸（压缩）变换将相比下组织结构较紧实（松散）的点集拉伸（压缩）成结构较松散（紧实）的点集。构造U的全部材料点按不同的构造法则可构造出≠U的V～U，V与U是构造材料点相同（不是元相同）但组织结构不同的“同材异构”体。组织结构不同的两点集有不同的内部形状从而互不≌。 U变为V～U是只改变构造方法不改变构造材料点的变换。
棉花由棉花分子组成，将一大包棉花压缩成一小包棉花不能使棉花分子有任何减少。点集A均匀压缩变为B～A显然是不改变构造材料点的变换，因这是“一一对应”变换从而不能使点集失去任何构造材料点。显然构造点集W的“建筑”材料点没有任何减少就不能使W变为其真子集V⊂W。显然有推翻百年集论的
h逻辑学起码常识：若B～点集W（说明B与W是构造材料完全相同的集）则B必不是W的任何非空真子集V⊂W（V⊂W只包含W部分材料点）。
直角三角形⊿的斜边c～水平直角边a，即c经旋转和压缩变换可变为a～c。3000年不识伪≌直线段使初数认定a经刚体运动变为附着在c上的直线段就必成为c的一部分，从而以为病态的集论是“革命发现”。
四、结束语
由上可见“没标准无穷大自然数”这一中学“最不成问题”的“常识”其实是5千年不倒的极顽固错误碉堡。“肉眼”数学因目光太短浅和没数学x光机从而一直被“实无穷”中的假象迷惑。以上表明数学家们在打基础的中学阶段就受到了影响自己一生的重大误导教育而又一直被蒙在鼓里，从而受害终生。例使“天才”康脱误入百年歧途推出百年病态谬论“部分可=全部”。“基础不牢地动山摇”。以上推翻了：直线公理、平面公理、自然数公理。限于篇幅还有一些重要论据没能收入本文。备注：本文的主要论据已在“预印本”上公布（见预印本上黄小宁的论文）。
参考文献
1黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
2 黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
3黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。
4黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6)。
电：13178840497 E-mail：hxn268@126.com
直线公理使初等数学一直将各异直线误为同一线——数集相等定义凸显初数一直将各异假R误为R http://www.360doc.com/content/24/0825/01/70996036_1132227654.shtml
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