【实验目的】

应用动态规划算法思想求解矩阵连乘的顺序问题。

【实验要求】         

应用动态规划算法的最优子结构性质和子问题重叠性质求解此问题。分析动态规划算法的基本思想，应用动态规划策略写出算法及相应的程序，求解此题。要读懂读透A[i,j]，

A[1,n]=A[1,k] ×A[k+1,n]，m[i][j]，s[i][j]各式所表达的含义并正确加以应用。m[i][j]的递归定义：

要求完成：⑴算法描述⑵写出程序代码⑶完成调试⑷进行过程与结果分析。

【实验内容】

对于下列所描述的问题，给出相应的算法描述，并完成程序实现与时间复杂度的分析。该问题描述为：一般地，考虑矩阵A1，A2，… ，An的连乘积，它们的维数分别为d0,d1,…,dn,即Ai的维数为di-1×di  (1≤i≤n)。确定这n个矩阵的乘积结合次序，使所需的总乘法次数最少。对应于乘法次数最少的乘积结合次序为这n个矩阵的最优连乘积次序。按给定的一组测试数据对根据算法设计的程序进行调试：6个矩阵连乘积A=A1×A2×A3×A4×A5×A6，各矩阵的维数分别为：A1：10×20，A2：20×25，A3：25×15，A4：15×5，A5：5×10，A6：10×25。完成测试。

【算法思想及处理过程】

【程序代码】

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <string.h>

#define MAX_SIZE 100
#define MAX 9999999 

typedef struct {
    char name[20];
    int rows;
    int cols;
} Matrix;

// 计算最优连乘矩阵次序
void matrixOptimal(Matrix matrices[], int num, int m[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int s[MAX_SIZE][MAX_SIZE]) {
    int i,j,k,l,flag;

    for (i = 1; i <= num; i++) {
        m[i][i] = 0;
    }
    
    // 计算子问题的最优解 
    
    for(j = 1; j <= num; j++){
    	for(i = j-1;i > 0; i--){
    		m[i][j] = MAX;
    		for (k = i; k < j; k++) {
	    		flag = m[i][k] + m[k+1][j] + matrices[i].rows * matrices[k].cols * matrices[j].cols;
	            if (flag < m[i][j]) {
	                m[i][j] = flag;
	                s[i][j] = k;
	            }
        	}
    	}
    }
    /*for (l = 2; l <= num; l++) {  // l 为连乘链的长度
        for (i = 1; i <= num - l + 1; i++) {
            j = i + l - 1;
            m[i][j] = MAX;
            for (k = i; k < j; k++) {
                flag = m[i][k] + m[k+1][j] + matrices[i].rows * matrices[k].cols * matrices[j].cols;
                if (flag < m[i][j]) {
                    m[i][j] = flag;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }*/
}

// 打印最优连乘矩阵次序
void printOptimal(Matrix matrices[], int s[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int i, int j) {
    if (i == j) {
        printf("%s", matrices[i].name);
    } else {
        printf("(");
        printOptimal(matrices, s, i, s[i][j]);
        printOptimal(matrices, s, s[i][j] + 1, j);
        printf(")");
    }
}

int main() {
    Matrix matrices[MAX_SIZE];
    int num;
	int i,j;
    printf("输入矩阵个数：");
    scanf("%d", &num);
    printf("输入每个矩阵的名称和维度：\n");
    for (i = 1; i <= num; i++) {
        printf("矩阵 %d名称: ", i);
        scanf("%s", matrices[i].name);
        printf("维数: ");
        scanf("%d %d", &matrices[i].rows, &matrices[i].cols);
        // 对第一个矩阵不进行维度检查 
        if (i > 1) {
            if (matrices[i-1].cols != matrices[i].rows) {
                printf("错误：矩阵维度不匹配，请重新输入。\n");
                i--;
            }
        }
    }

    int m[MAX_SIZE][MAX_SIZE];  // 存储最小乘法次数
    int s[MAX_SIZE][MAX_SIZE];  // 存储最优分割点
    matrixOptimal(matrices, num, m, s);
    
    printf("------------------------------------");
    printf("\n数组 m:\n");
    for (i = 1; i <= num; i++) {
        for (j = 1; j <= num; j++) {
            printf("%d\t", m[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n数组 s:\n");
    for (i = 1; i <= num; i++) {
        for (j = 1; j <= num; j++) {
            printf("%d\t", s[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

	printf("------------------------------------\n");
    printf("所需的总乘法次数为：%d\n", m[1][num]);
    printf("最优连乘积次序为：");
    printOptimal(matrices, s, 1, num);
    printf("\n");

    return 0;
}

【运行结果】

【算法分析】