塔科马海峡大桥

1940年7月1日，耗资600万美元的塔科马海峡大桥正式通车。仅仅四个月后的11月7日，在一场风暴中，这座桥解体并倒塌。这座悬索桥全长超过一英里，曾在它短暂的使用期内因桥面在风中剧烈摆动而被称为“跳跃的格蒂”（Galloping Gertie）。大桥的倒塌不仅成为一场灾难，还爆发了多重丑闻，其中包括保险费被挪用，导致大桥并未投保的事实。*

悬索桥的桥面通过竖直悬索悬挂，而这些悬索连接在塔之间的主索上（如图4.30所示的示意图）。如果我们将这些竖直悬索视为长弹簧，那么很容易将桥面的振动建模为谐波振动方程。我们可以认为风提供了一种周期性的外力。这使人很容易得出结论：“啊哈，桥的倒塌一定是由于共振引起的。”

然而，事情并非如此简单。我们知道，强迫谐波振子的外力频率必须非常接近其固有频率，才能引起剧烈的效应。而风很少会长时间保持这样“理想”的行为。如果风引发的振动恰好与桥的固有频率几乎完全一致，那实在是非常不幸的偶然事件。

最近，关于悬索桥动态行为的研究（由两位数学家A. C. Lazer 和 P. J. McKenna 进行）表明，线性谐波振动器并不能准确地描述悬索桥的运动。竖直的悬索在被拉伸时确实像弹簧一样发挥作用，也就是说，当桥面低于其静止位置时，悬索会向上拉动桥面。然而，当桥面显著高于其静止位置时，悬索会松弛下来，不再向下施加压力。

悬索桥模型的研究

当桥面被抬高时，拉回静止位置的力比桥面被拉低时要小得多（见图4.31）。在本节中，我们将研究一个具备这些特性的模型。这组方程由Lazer和McKenna从更复杂的悬索桥振动模型中发展而来。通过这个系统，我们对悬索桥的潜在行为有了相当深入的理解，并获得了一些如何提升桥梁安全性的启示。

Lazer和McKenna的模型旨在描述悬索桥在风力作用下的振动行为，其中考虑了竖直悬索的非线性特性，即悬索在拉伸时像弹簧一样产生恢复力，但在松弛时则几乎不施加力。这一模型能够解释悬索桥在特定情况下的剧烈振动现象，尤其是桥面在大风中的非线性响应行为。

通过研究这个模型，研究者们能够更好地理解桥梁在不同外力条件下的振动特性，尤其是在共振频率下的响应。这个模型为桥梁设计和维护提供了新的理论支持，帮助工程师们制定有效的措施，以减少桥梁在强风条件下发生共振和其他危险振动的可能性。

这种理论不仅适用于塔科马海峡大桥的倒塌研究，还为未来桥梁的设计提供了指导，通过理解桥梁在不同环境中的响应，能够增强桥梁的稳定性和安全性。

方程的推导

我们研究的桥梁运动模型只使用一个变量来描述桥梁的位置。假设桥梁上下振荡，如图4.31所示。我们用 $y(t)$（以英尺或米为单位）表示桥梁中心的垂直位置，其中 $y=0$ 对应悬索拉紧但没有被拉伸的位置。我们将 $y<0$ 对应于悬索被拉伸的位置，而 $y>0$ 则对应悬索松弛的位置（见图4.32）。当然，使用一个变量来研究桥梁的运动忽略了许多可能的运动方式，我们将在本节末对其他模型做一些评论。

为了建立 $y(t)$ 的模型，我们考虑作用在桥梁中心的各种力。重力提供了垂直方向的一个常量力，朝负 $y$ 方向。此外，假设悬索在 $y<0$ 时提供向上的拉力，并且该力与 $y$ 成正比；而在 $y>0$ 时，悬索不提供任何力。当 $y\ne 0$ 时，桥面的拉伸会产生一种恢复力，将 $y$ 拉回到 $y=0$。最后，系统中还存在一定的阻尼力，假设其与 $\frac{dy}{dt}$ 成正比。我们选择单位使得桥梁的质量为 1。

基于这些假设，Lazer 和 McKenna 推导出一个无风情况下悬索桥的模型方程：

$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\alpha \frac{dy}{dt}+\beta y+c(y)=-g.$$

在这个方程中：

• $\alpha$ 表示阻尼系数；
• $\beta$ 是描述桥面拉伸的恢复力常数；
• $c(y)$ 是描述悬索在不同 $y$ 值下的力的函数；
• $g$ 表示重力的作