代码随想录算法训练营第四十一天 | 121. 买卖股票的最佳时机 ， 122.买卖股票的最佳时机II ， 123.买卖股票的最佳时机III

news2024/12/23 13:15:24

目录

 121. 买卖股票的最佳时机

思路

暴力

贪心

动态规划

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

2.确定递推公式

3.dp数组如何初始化

4.确定遍历顺序

5.举例推导dp数组

方法一： 贪心

方法二：动态规划1

方法三：动态规划2

方法四：动态规划3

心得收获 

122.买卖股票的最佳时机II  

思路

方法一：动态规划

方法二：动态规划

123.买卖股票的最佳时机III  

思路

1.确定dp数组以及下标的含义

2.确定递推公式

3.dp数组如何初始化

4.确定遍历顺序

5.举例推导dp数组

方法一：动态规划-二维

方法二：动态规划-一维

 121. 买卖股票的最佳时机

  • 题目链接：力扣题目链接

  • 文章讲解：代码随想录 

  • 视频讲解：动态规划之 LeetCode：121.买卖股票的最佳时机1

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

  • 示例 1：

  • 输入：[7,1,5,3,6,4]

  • 输出：5
    解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

  • 示例 2：

  • 输入：prices = [7,6,4,3,1]

  • 输出：0
    解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思路

暴力

这道题目最直观的想法，就是暴力，找最优间距了。

贪心

因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

动态规划

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

很多同学把“持有”和“买入”没区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

2.确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
  • 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
  • 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递推公式我们就分析完了

3.dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

121.买卖股票的最佳时机

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

方法一： 贪心

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        low = float("inf")
        result = 0
        for i in range(len(prices)):
            low = min(low, prices[i]) #取最左最小价格
            result = max(result, prices[i] - low) #直接取最大区间利润
        return result

方法二：动态规划1

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        if length == 0:
            return 0
        dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0])
        return dp[-1][1]

方法三：动态规划2

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i])
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0])
        return dp[(length-1) % 2][1]

方法四：动态规划3

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        dp0, dp1 = -prices[0], 0 #注意这里只维护两个常量，因为dp0的更新不受dp1的影响
        for i in range(1, length):
            dp1 = max(dp1, dp0 + prices[i])
            dp0 = max(dp0, -prices[i])
        return dp1

心得收获 

有童鞋可能对推导公式有很大疑惑，具体的解释可以看下面：

1、确定dp数组以及下标的含义 ：
每天其实就是两种状态，手里有股票和手里没股票，再加上“某天”这个维度，所以用一个二维的就可以表示所有天数的情况。

dp数组有i行，i就是天数。有两列，表示某一天的两种情况。

dp[i][0]：表示第i天手里持有股票的状态

这里持有的这个股票有两种情况：

  1. 前面一直没买过股票，买了第i天这个股票，
  2. 第i天之前的某一天已经买了一个股票，一直没卖，然后一直持有到第i天

dp[i][1]表示，第i天手里不持有股票状态

这里的不持有股票有三种情况：

  1. 从第0天到第i天，一直没买过股票
  2. 第i天之前的某一天买过股票，我们在第i天卖掉
  3. 在第i天之前已经有过一次买股票和一次卖股票的操作了所以在第i天是不持有股票的状态

2、递推公式 dp[i][0] = max(dp[i-1][0],-prices[i]) 前面说过，持有股票有两种情况：

  1. 如果是之前就有股票，那么就是dp[i-1][0]，
  2. 如果之前一直没买股票，然后买了第i天这个股票，那么我们的利润应该是-prices[i]

     为什么不是dp[i-1][1]-prices[i]？从两个方面都可以解释：

  1. 一方面，本题只能买股票一次，如果我们选择第i天买这个股票，那么我们第i天之前只能是什么操作都不做。那么我们的利润应该一直都是0，所以当我们第i天买这个股票时，我们的利润变成了-prices[i]。
  2. 第二个方面，我们前面已经解释过了不持有股票的状态，有三种情况而只有第一种情况是符合题意的，此时的利润依旧是-prices[i]

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]) 前面说过，不持有股票有三种情况：

第一种情况（一直没买过股票）和第三种情况（第i天之前已经进行过一次买卖股票的操作）都可以用dp[i-1][1]表示

第二种情况就是第i天之前买过，我们在第i天卖掉，所以就是dp[i-1][0]+prices[i]

该分析来源于，视频讲解的评论区

122.买卖股票的最佳时机II  

  • 题目链接：力扣题目链接

  • 文章讲解：代码随想录 

  • 视频讲解：动态规划，股票问题第二弹 | LeetCode：122.买卖股票的最佳时机II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

  • 示例 1:

  • 输入: [7,1,5,3,6,4]

  • 输出: 7
    解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

  • 示例 2:

  • 输入: [1,2,3,4,5]

  • 输出: 4
    解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

  • 示例 3:

  • 输入: [7,6,4,3,1]

  • 输出: 0
    解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

  • 1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
  • 0 <= prices[i] <= 10 ^ 4

思路

本题和121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

其他的思路都是一样的，只有推导公式时是有一些区别：

在121. 买卖股票的最佳时机中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

方法一：动态规划

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]) #注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])
        return dp[-1][1]

方法二：动态规划

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], dp[(i-1) % 2][1] - prices[i])
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], dp[(i-1) % 2][0] + prices[i])
        return dp[(length-1) % 2][1]

123.买卖股票的最佳时机III  

  • 题目链接：力扣题目链接

  • 文章讲解：代码随想录 

  • 视频讲解：动态规划，股票至多买卖两次，怎么求？ | LeetCode：123.买卖股票最佳时机III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

  • 示例 1:

  • 输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

  • 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。

  • 示例 2：

  • 输入：prices = [1,2,3,4,5]

  • 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

  • 示例 3：

  • 输入：prices = [7,6,4,3,1]

  • 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。

  • 示例 4：

  • 输入：prices = [1] 输出：0

提示：

  • 1 <= prices.length <= 10^5
  • 0 <= prices[i] <= 10^5

思路

关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：

1.确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

  1. 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
  2. 第一次持有股票
  3. 第一次不持有股票
  4. 第二次持有股票
  5. 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。

2.确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

  • 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
  • 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

  • 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
  • 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

123.买卖股票的最佳时机III

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。

所以最终最大利润是dp[4][4]

方法一：动态规划-二维

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0:
            return 0
        dp = [[0] * 5 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][1] = -prices[0]
        dp[0][3] = -prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[i][0] = dp[i-1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i])
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i])
        return dp[-1][4]

方法二：动态规划-一维

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0:
            return 0
        dp = [0] * 5 
        dp[1] = -prices[0]
        dp[3] = -prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i])
            dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i])
            dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i])
            dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i])
        return dp[4]

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认知杂谈25

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今天分享 有人说的一段争议性的话 I I 《拖延症&#xff0c;谁都有过》 嘿&#xff0c;朋友们&#xff01;咱都来说说&#xff0c;拖延症这玩意儿&#xff0c;好多人都被它给缠上啦。你看哈&#xff0c;本来计划得好好的&#xff0c;今天要把房间收拾得干干净净&#xff0c;可…
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SSH弱口令爆破服务器

SSH弱口令爆破服务器

一、实验背景 1、概述 使用kali的hydra进行ssh弱口令爆破&#xff0c;获得服务器的用户名和口令&#xff0c;通过 ssh远程登录服务器。 2、实验环境 kali攻击机&#xff1a;192.168.1.107 centos服务器&#xff1a;192.168.1.105 二、前置知识 1、centos设置用户并设置弱…
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软件设计原则之接口隔离原则

软件设计原则之接口隔离原则

接口隔离原则&#xff08;Interface Segregation Principle, ISP&#xff09;是面向对象设计中的一个重要原则&#xff0c;它属于SOLID原则之一。这个原则强调客户端&#xff08;即接口的调用者&#xff09;不应该被迫依赖于它们不使用的方法。换句话说&#xff0c;一个类对另一…
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【区块链 + 司法存证】数据存证区块链服务开放平台 | FISCO BCOS应用案例

【区块链 + 司法存证】数据存证区块链服务开放平台 | FISCO BCOS应用案例

大数据时代&#xff0c;数据参与社会生产过程&#xff0c;实现价值增值&#xff0c;是一种新型生产要素。数据产品具有易复制、易修改等特点&#xff0c; 因而数据产品在使用、流通过程中面临被非法复制、非法传播、非法篡改和知识产权窃取等安全风险。在存证数 据上链过程中&a…
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PDF转化为机器可读格式的工具

PDF转化为机器可读格式的工具

MinerU PDF转化为机器可读格式的工具 项目简介 MinerU是一款将PDF转化为机器可读格式的工具&#xff08;如markdown、json&#xff09;&#xff0c;可以很方便地抽取为任意格式。 项目地址&#xff1a; https://github.com/opendatalab/MinerU/tree/master主要功能 删除页…
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微信开发者工具 自定义字体大小

微信开发者工具 自定义字体大小

常用编程软件自定义字体大全首页 文章目录 前言具体操作1. 打开文件设置对话框2. 在Font Family里面输入字体 前言 微信开发者工具 自定义字体大小&#xff0c;统一设置为 Cascadia Code SemiBold &#xff0c;大小为 14 具体操作 【文件】>【首选项】>【设置】>【文…
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登录校验组件 Spring Security OAuth2 详解

登录校验组件 Spring Security OAuth2 详解

什么是OAuth? OAuth&#xff08;全称Open Authorization&#xff0c;开放授权&#xff09;是一种基于令牌的身份验证和授权协议&#xff0c;它允许用户授权第三方应用访问其在服务提供者&#xff08;如社交媒体、邮箱服务等&#xff09;上存储的特定信息&#xff0c;而无需直…
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