目录
1、最短路径问题
2、迪杰斯特拉算法
3、算法的步骤
谢谢帅气美丽且优秀的你看完我的文章还要点赞、收藏加关注
没错，说的就是你，不用再怀疑！！！
希望我的文章内容能对你有帮助，一起努力吧！！！
1、最短路径问题
最短路径问题：是指在图中找到两个顶点，求两个顶点之间最短路径的一个问题。
“最短”：通常来说是指路径上面总权值最小，权值（边/弧的长度、成本、时间...）。
最短路径问题计算机科学、运筹学、网络理论等多个领域都有广泛的应用。
在图中，路径是指：一个顶点到另一个顶点的方式。一个顶点到另一个顶点方式并不一定是唯一的，在 多个路径中找一个总权值最小的一个路径。
解决带权的有向图两个顶点之间最短路径问题
两个经典算法：
- 迪杰斯特拉算法（Dijkstra）
- 弗洛伊德算法（Floyd）
2、迪杰斯特拉算法
Dijkstra算法：是解决从网络中任意一个顶点（源点）出发，求它到其他顶点（终点）的最短路径的问题。
算法思路：按路径长度递增次序产生从某个源点v到图中其余各项顶点的最短路径
Dijkstra算法依赖两个辅助向量：
- 向量S[n]
- S[i]==1 (true)，说明从源点v到终点vi的最短路径已经找到了。
- S[i]==0 (false) , 说明从源点v到终点vi的最短路径还没有找到。
- 初始化开始S[v]==1 (true) , 其余各项顶点均为0 (false)。
- 向量dist[n]
- dist[n]存放从源点v到终点vi这个顶点当前的最短路径
- 初始化
- 当v可以直接到到vi的时候，那么dist[vi] = 的权值w
- 当v不可以直接到到vi的时候，那么dist[vi] = 无穷大
3、算法的步骤
很显然从源点v到其它各项顶点的最短路径中的第一短的路径，绝对是能直接到到达的顶点（邻接点）中 最短的一条路径
- 第一步：
- 从源点v到其它各项顶点的当前最短路径找出最短的来。
- dist[u] = min{dist[w] (w=0,1,2,3,4,5....n-1),并且S[w]==0 (false))}
- 最优路径=当前已知的最短路径中最短的一条
- dist[u] 称为当前最优路径，u为当前最优的顶点下标
- dist[u] = min{dist[w] (w=0,1,2,3,4,5....n-1),并且S[w]==0 (false))}
- 从源点v到其它各项顶点的当前最短路径找出最短的来。
- 第二步：
- 用当前最优路径来更新其他的路径
- 对S[w] == 0 的w（没有找到最优路径的顶点）进行更新。
- 如果dist[u]+ 小于 dist[w] , 那么就更新dist[w]
- 用当前最优路径来更新其他的路径
- 第三步：
- 重复第一步和第二步
***迪杰斯特拉算法代码示例***
#include <iostream>
// 顶点数量是10个
#define VertexMaxCount 10
// 无穷大
#define MAXNUMBER (65535)
// 图类型
typedef struct
{
// 关系集
int R[VertexMaxCount][VertexMaxCount];
// 顶点集
std::string V[VertexMaxCount];
// 顶点数量
int vertex_count;
}Graph;
// 关系类型
typedef struct
{
int index_s; // 关系开始顶点下标
int index_e; // 关系结束顶点下标
int r; // 关系
}R;
/*
@brief 为一个邻接矩阵图增加一个顶点
@param graph 需要增加顶点的图指针
@param vertex 需要增加的顶点
*/
void addVertex(Graph *graph,std::string vertex)
{
// 判断图是否存在
if(!graph)
return;
// 添加新顶点
graph->V[graph->vertex_count] = vertex;
// 更新顶点数量
graph->vertex_count++;
}
int getIndex(Graph*graph,std::string vertex)
{
if(!graph)
return -1;
for(int index=0;index < VertexMaxCount;index++)
if(graph->V[index] == vertex)
return index; // 返回顶点在图中的下标
return -1; // 表示顶点不在图中
}
/*
@brief 为一个邻接矩阵图增加关系
@param graph 需要增加关系的图指针
@param r 增加新关系
*/
void addR(Graph *graph,R r)
{
// 判断图是否存在
if(!graph)
return;
// 添加关系
graph->R[r.index_s][r.index_e] = r.r;
}
Graph *creatGraph()
{
// 申请了一个邻接矩阵的空间
Graph * graph = new Graph;
std::cout << "请依次输入顶点：";
// 增加顶点
while(1)
{
std::string vertex = "结束";
std::cin >> vertex;
if(vertex == "结束")
break;
// 增加进入图
addVertex(graph,vertex);
}
// 先初始化关系
for(int row = 0;row < VertexMaxCount;row++)
{
for(int column = 0;column < VertexMaxCount;column++)
if(row == column)
graph->R[row][column] = 0;
else
graph->R[row][column] = MAXNUMBER;
}
std::cout << "请输入顶点之间的关系：" << std::endl;
// 增加关系
while(1)
{
std::string start_vertex = "结束";
std::string end_vertex = "结束";
int ralation = MAXNUMBER;
std::cin >> start_vertex;
std::cin >> end_vertex;
std::cin >> ralation;
if(start_vertex == "结束"||end_vertex == "结束"||ralation == MAXNUMBER)
break;
R r;
r.index_s = getIndex(graph,start_vertex);
r.index_e = getIndex(graph,end_vertex);
r.r = ralation;
// 判断结点下班是否有效
if(r.index_s == -1||r.index_e == -1)
continue;
// 存入关系
addR(graph,r);
}
return graph;
}
/*
@brief 打印一个邻接矩阵图
@param graph 需要打印的邻接矩阵图指针
*/
void printGraph(Graph *graph)
{
if(!graph)
return ;
std::cout << "\t";
// 打印顶点
for(int count=0;count < VertexMaxCount;count++)
std::cout << graph->V[count] << "\t";
std::cout << std::endl;
// 打印关系
for(int row = 0;row < graph->vertex_count;row++)
{
std::cout << graph->V[row] << "\t";
for(int column = 0;column < VertexMaxCount;column++)
{
// 存在关系
std::cout << graph->R[row][column] << "\t";
}
std::cout << std::endl;
}
}
/*
逻辑思路：
算法的步骤
很显然从源点v到其它各项顶点的最短路径中的第一短的路径，绝对是能直接到到达的顶点（邻接点）中最短的一条路径
- 第一步：
- 从源点v到其它各项顶点的当前最短路径找出最短的来。
- dist[u] = min{dist[w] (w=0,1,2,3,4,5....n-1),并且S[w]==0 (false))}
- 最优路径=当前已知的最短路径中最短的一条
- dist[u] 称为**当前最优路径**，u为当前最优的顶点下标
- 第二步：
- 用当前最优路径来更新其他的路径
- 对S[w] == 0 的w（没有找到最优路径的顶点）进行更新。
- 如果dist[u]+<u,w> 小于 dist[w] , 那么就更新dist[w]
- 第三步：
- 重复第一步和第二步
@brief 通过迪杰斯特拉算法求最短路径
@param graph 需要进行最短路径查找的图
@param v_src 源点
*/
// 两个辅助向量
static bool S[VertexMaxCount];
static int dist[VertexMaxCount];
void Dijkstra(Graph *graph,std::string v_src)
{
//------------------------迪杰斯特拉准备工作---------------------------
// 初始化向量S
for(int count = 0;count < graph->vertex_count;count++)
S[count] = false; // 把所有顶点初始化的时候置为没有找到最短路径
// 将v_src 到 v_src设置为找到了最短路径:自己到自己的最优路径找到了
int v_src_pos = getIndex(graph,v_src);
S[v_src_pos] = true;
// 初始化dist向量
for(int count = 0;count < graph->vertex_count;count++)
dist[count] = graph->R[v_src_pos][count]; // 权值存储到dist里面
// 结束之后：dist存储了源点到其他顶点的路径权值
//------------------------正式开始迪杰斯特拉---------------------------
int min_pos; // 用来存储当前最短路径的下标
int min_w; // 用来存储当前最短路径的权值
for(int count = 0;count < graph->vertex_count-1;count++)
{
// 初始化当前最短路径的下标和权值
min_pos = 0;
min_w = MAXNUMBER;
// 第一步：从源点v到其他各项顶点的当前最短路径中找出最短的路径
for(int min_road_pos = 0;min_road_pos < graph->vertex_count;min_road_pos++)
{
// 最优路径=当前已知的最短路径中最短的一条
if(S[min_road_pos]==false&&dist[min_road_pos] < min_w)
{
min_pos = min_road_pos; // 保存小的那个下标
min_w = dist[min_road_pos]; // 保存它的权值
}
}
// 当循环结束，你就能拿到当前最短路径中的第一短
std::cout << "当前最短路径为:" << graph->V[v_src_pos] << "->" << graph->V[min_pos] << ":" << min_w << std::endl;
// 这一条路径是源点到min_pos顶点的最优路径了，标记它
S[min_pos] = true;
// 第二步：通过这个最短路径来更新其他顶点路径
for(int pos = 0;pos < graph->vertex_count;pos++)
{
// 如果dist[min_pos]+<min_pos,pos> 小于 dist[pos] , 那么就更新dist[pos]
if(S[pos] == false&&dist[min_pos]+graph->R[min_pos][pos] < dist[pos])
{
// 更新pos对应的顶点的路径
dist[pos] = dist[min_pos] + graph->R[min_pos][pos];
}
}
}
// 整个循环结束之后，从v_src到其他各项顶点的最短路径就求出来了
for(int count = 0; count < graph->vertex_count;count ++)
{
std::cout << graph->V[v_src_pos] << "->" << graph->V[count] << ":" << dist[count] << std::endl;
}
}
int main()
{
Graph *g = creatGraph();
printGraph(g);
Dijkstra(g,"a");
delete g;
return 0;
}
![BaseCTF [Week2] 最简单的编码](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/b35a3fdda5ac4e9794db823a57aaf230.png)
