题目

分析：

首先注意到期望有线性性：
$E(a+b)=E(a)+E(b)$，其中$a$、$b$不要求相互独立。

因为网上很多地方的证明不严谨，所以这里证明一下：

$E(a+b)=\sum _{i}i\cdot P(i=a+b)$

注意到$P(i=a+b)=\sum _{\alpha }P(\alpha =a)\cdot P(i-\alpha =b|\alpha =a)$，这是因为加法、乘法原理。

因而有：
$E(a+b)=\sum _{i}i\cdot \sum _{\alpha }P(\alpha =a)\cdot P(i-\alpha =b|\alpha =a)$
$=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }(\alpha +\beta )P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)$
$=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\alpha P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)+\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\beta P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)$
$=\sum _{\alpha }\alpha \cdot P(\alpha =a)\sum _{\beta }P(\beta =b|\alpha =a)+\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\beta P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)$

注意到$\sum _{\beta }P(\beta =b|\alpha =a)=1$：
$=\sum _{\alpha }\alpha \cdot P(\alpha =a)+\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\beta P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)$
$=\sum _{\alpha }\alpha \cdot P(\alpha =a)+\sum _{\beta }\beta \sum _{\alpha }P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)$

注意到$P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)=P(\alpha =a|\beta =b)\cdot P(\beta =b)$（贝叶斯定理）：

$=\sum _{\alpha }\alpha \cdot P(\alpha =a)+\sum _{\beta }\beta \sum _{\alpha }P(\alpha =a|\beta =b)\cdot P(\beta =b)$

$=\sum _{\alpha }\alpha \cdot P(\alpha =a)+\sum _{\beta }\beta \cdot P(\beta =b)\sum _{\alpha }P(\alpha =a|\beta =b)$
$=\sum _{\alpha }\alpha \cdot P(\alpha =a)+\sum _{\beta }\beta \cdot P(\beta =b)$
$=E(a)+E(b)$

证完。

顺便把乘法的情况也证明一下：
$E(ab)=E(a)\cdot E(b)$（$a,b$相互独立）

证明：
$E(ab)=\sum _{i}iP(i=ab)$
$=\sum _{i}i\sum _{\alpha }P(\alpha =a)P\left(\frac{i}{\alpha }=b|\alpha =a\right)$
$=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\alpha \beta \cdot P(\alpha =a)P\left(\beta =b|\alpha =a\right)$

因为$a,b$独立，所以$P(\beta =b|\alpha =a)=P(\beta =b)$，则：
$=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\alpha \beta \cdot P(\alpha =a)P\left(\beta =b\right)$
$=\sum _{\alpha }\alpha P(\alpha =a)\sum _{\beta }\beta P\left(\beta =b\right)$
$=E(a)E(b)$

证完。

题目做法：
首先根据期望的性质，我们划分出一个大小$x$作为物品，对答案的贡献是$g_x=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}[x\le a_i]$

所以说相当于选出恰好$n$个物品，使得体积之和恰好为$m$，最小化代价。

首先直接做是不好做的，两个限制的完全背包复杂度为$O(n^{2}m)$

其次注意到完全背包可以这样dp，即$f_i=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{f}_{i-w_i}+c_i$

所以可以设计$f_{i,j}$表示个数为$i$，和为$j$的最小贡献，则：
$f_{i,j}=\underset{x\le j}{\min }{f}_{i-1,j-x}+g_x$

此时复杂度仍然是$O(n^{2}m)$

注意到如果选择物品时按照$i$单调递增的方式来选择，最终也会得到最优答案。
假如我们这样限制的话，对于$f_{i,j}$，$x>\frac{m-j}{n-i}$的物品$x$就不可选了，因为如果选了，则根据单增限制，和$m$不足以选到$n$个数字。

因而有：
$f_{i,j}=\underset{x\le \frac{m-j}{n-i}}{\min }{f}_{i-1,j-x}+g_x$

时间复杂度为$O(nm\ln n)$