🍃作者介绍：双非本科大三网络工程专业在读，阿里云专家博主，专注于Java领域学习，擅长web应用开发、数据结构和算法，初步涉猎人工智能和前端开发。
🦅个人主页：@逐梦苍穹
📕所属专栏：人工智能
🌻gitee地址：xzl的人工智能代码仓库
✈ 您的一键三连，是我创作的最大动力🌹

1、前言

对于self-attention不太了解的，可以先看：https://xzl-tech.blog.csdn.net/article/details/141308634
解释了self-attention的详细运算机制
本文主要侧重的是Self-attention反向传播计算推导

对于本文的主要内容，如下：

1. 掌握self-attention的机制和原理
2. 掌握为什么要使用三元组(Q, K, V)来计算self-attention
3. 理解$Softmax$函数的输入是如何影响输出分布的
4. 理解$Softmax$函数反向传播进行梯度求导的数学过程
5. 理解$Softmax$函数出现梯度消失的原因
6. 理解self-attention计算规则中归一化的原因

2、Self-attention的特点

self-attention是一种通过自身和自身进行关联的attention机制，从而得到更好的representation来表达自身；
self-attention是attention机制的一种特殊情况，在self-attention中，Q=K=V，序列中的每个单词(token)都和该序列中的其他所有单词(token)进行attention规则的计算；
attention机制计算的特点在于，可以直接跨越一句话中不同距离的token，可以远距离的学习到序列的知识依赖和语序结构。

---

应用传统的RNN、LSTM在获取长距离语义特征和结构特征的时候，需要按照序列顺序依次计算，距离越远的联系信息的损耗越大，有效提取和捕获的可能性越小；
但是应用self-attention时，计算过程中会直接将句子中任意两个token的联系通过一个计算步骤直接联系起来。

3、为什么是(Q, K, V)三元组

关于self-attention为什么要使用(Q, K, V)三元组而不是其他形式：

1. 首先一条就是从分析的角度看，查询Query是一条独立的序列信息，通过关键词Key的提示作用，得到最终语义的真实值Value表达，数学意义更充分、完备
2. 这里不使用(K, V)或者(V)没有什么必须的理由，也没有相关的论文来严格阐述比较试验的结果差异，所以可以作为开放性问题未来去探索，只要明确在经典self-attention实现中用的是三元组就好。

4、归一化和放缩

这里有一个问题，那就是self-attention公式中的归一化有什么作用? 为什么要添加scaled?
Self-Attention中的归一化和缩放操作是Self-Attention机制中两个关键的步骤，它们对模型的稳定性和性能有重要影响。我们来详细讨论这两个问题。

4.1、Normalization

在Self-Attention公式中，归一化通常是指$Softmax$操作，它被用于将注意力分数转换为概率分布：
$\text{Attention}(Q,K,V)=\text{softmax}\left(\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}}\right)V$
$Softmax$归一化：$Softmax$函数将注意力分数 (即查询向量 $Q$ 和键向量 $K$ 的点积结果) 转换为一个概率分布。
这个分布的总和为1，每个元素的值介于0和1之间，表示模型在当前序列中“关注”每个位置的程度。
作用：

1. 概率解释：通过归一化，模型可以根据注意力分数来判断当前步“关注”其他序列中位置的程度。
2. 稳定性：$Softmax$操作使得每个位置的注意力分数差异更加平滑，避免了模型过于依赖某些位置的信息，从而提高了模型的稳定性。
3. 梯度的可控性：$Softmax$使得梯度的范围在合理的区间内，避免了梯度爆炸或消失的问题。

4.2、Scaled

在Self-Attention中，缩放操作是指将查询和键的点积结果除以 $\sqrt{d_k}$，即$\frac{Q{K}^T}{\sqrt{d_k}}$
为什么要缩放：

1. 避免过饱和的$Softmax$输出问题：查询向量 $Q$ 和键向量 $K$ 的点积结果可能会随着向量维度 $d_k$ 的增加而增大，进而导致$Softmax$函数输出极端的概率值 (即接近于0或1)，这会使得模型的注意力机制变得不稳定，过于关注某些位置，而忽略其他位置的信息。
2. 稳定性: 缩放操作减少了点积结果的值，使得经由$Softmax$后的注意力分数更加平滑，从而使模型更稳定。这有助于模型更好地学习。

缩放的原理：

1. 在计算查询向量 $q$ 和键向量 $k$ 的点积时，结果的值与向量的维度 $d_k$ 成正比。
2. 假设 $q$ 和 $k$ 的各个分量独立且均值为0，方差为1，那么点积结果的方差为 $d_k$。
3. 因此，为了保持输出分数的稳定性，需要计算中主动将点积结果除以 $\sqrt{d_k}$ 来抵消因方差增大的影响，这样点积后的结果依然满足均值为0、方差为1。

4.3、总结

1. 归一化：通过$Softmax$将点积结果转换为概率分布，确保模型可以合理地分配注意力权重，提升稳定性和解释性。
2. 缩放：通过除以 $\sqrt{d_k}$，缓解了随着向量维度增加而产生的值变大的问题，从而使得$Softmax$操作更加平滑和稳定，避免了梯度爆炸或消失的问题。

这两个步骤共同确保了Self-Attention机制在处理不同长度和维度的输入序列时，能够保持稳定的性能，并在训练过程中更容易优化。

5、Softmax的梯度变化

这里我们分3个步骤来解释$Softmax$的梯度问题：

1. $Softmax$函数的输入分布是如何影响输出的；
2. $Softmax$函数在反向传播的过程中是如何梯度求导的；
3. $Softmax$函数出现梯度消失现象的原因。

5.1、Softmax函数的输入分布是如何影响输出的

对于一个输入向量$x$，$Softmax$函数将其做了一个归一化的映射，首先通过自然底数e将输入元素之间的差距先"拉大"，然后再归一化为一个新的分布。
在这个过程中假设某个输入$x$中最大的元素下标是$k$，如果输入的数量级变大(就是$x$中的每个分量绝对值都很大)，那么在数学上会造成$y_k$的值非常接近1。

---

具体用一个例子来演示, 假设输入的向量$x=[a,a,2a]$，那么随便给几个不同数量级的值来看看对$y_3$产生的影响.
代码示例：

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author: CSDN@逐梦苍穹
# @Time: 2024/8/24 22:41
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def softmax(x):
    exp_x = np.exp(x)
    return exp_x / np.sum(exp_x)

a_values = np.linspace(1, 10, 10)
print("a_values: ", a_values)
y3_values = []

for a in a_values:
    x = [a, a, 2 * a]
    y = softmax(x)
    print("y: ", y)
    y3_values.append(y[2])  # y[2] 是 y3 对应的输出

plt.plot(a_values, y3_values)
plt.xlabel('a')
plt.ylabel('y3')
plt.title('y3 vs a')
plt.show()

输出结果：

从上图可以很清楚的看到输入元素的数量级对$Softmax$最终的分布影响非常之大.
如果把代码的范围和数量扩大到100甚至是1000，图像就会更加平滑：

5.2、反向传播的过程中的梯度求导

关于$Softmax()$函数：

首先定义神经网络的输入和输出：
设 $X=[x_1,x_2,\cdots ,x_n],Y=\text{softmax}(X)=[y_1,y_2,\cdots ,y_n]$ 则 $y_i=\frac{e^{x_i}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{x_j}}$ ，
显然 ${\sum }_{i=1}^n{y}_i=1$
反向传播就是输出端的损失函数对输入端求偏导的过程，这里要分两种情况，
第一种如下所示：

1. 当 $i=j$ 时
   

2. 当 $i\ne j$ 时:
   

经过对两种情况分别的求导计算：

对推导公式的解释：

5.3、出现梯度消失现象的原因

根据第二步中$Softmax$函数的求导结果, 可以将最终的结果以矩阵形式展开如下：
$\frac{\partial g(X)}{\partial X}\approx \left[\begin{array}{cccc}{\hat{y}}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\hat{y}}_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\hat{y}}_d\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc}{\hat{y}}_1^2& {\hat{y}}_1{\hat{y}}_2& \cdots & {\hat{y}}_1{\hat{y}}_d\\ {\hat{y}}_2{\hat{y}}_1& {\hat{y}}_2^2& \cdots & {\hat{y}}_2{\hat{y}}_d\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\hat{y}}_d{\hat{y}}_1& {\hat{y}}_d{\hat{y}}_2& \cdots & {\hat{y}}_d^2\end{array}\right]$
根据第一步中的讨论结果, 当输入 $x$ 的分量值较大时, $Softmax$函数会将大部分概率分配给最大的元素, 假设最大元素是 $x_1$ , 那么$Softmax$的输出分布将产生一个接近one-hot的结果张量 $y_{=}[1,0,0,\dots ,0]$ , 此时结果矩阵变为：
$\frac{\partial g(X)}{\partial X}\approx \left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ & & & \\ 0& 0& \cdots & 0\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & & \\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ & & & \\ 0& 0& \cdots & 0\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & & \\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]=0$
结论：综上可以得出，所有的梯度都消失为0(接近于0)，参数几乎无法更新，模型收敛困难。

6、维度与点积大小的关系

针对为什么维度会影响点积的大小，原始论文(Attention Is All You Need)中有这样的一点解释如下：

我们分两步对其进行一个推导，首先假设向量 $q$ 和 $k$ 的各个分量是相互独立的随机变量，$X=q_i$，$Y=k_i$ ，$X$ 和 $Y$ 各自有 $d_k$ 个分量，也就是向量的维度等于 $d_k$，有 $E(X)=E(Y)=0$ ，以及 $D(X)=D(Y)=1$。
那么可以得到随机变量的期望$E(XY)=E(X)E(Y)$
同理，对于随机变量的方差$D(XY)$ 推导如下：

根据期望和方差的性质，对于相互独立的变量满足下式：

对这两个公式解释一下：

1. 期望的线性性质：$E\left({\sum }_i{Z}_i\right)={\sum }_{i}E(Z_i)$
   1. 含义：这条公式表明，多个独立随机变量的和的期望等于这些随机变量的期望的和。
   2. 解释：
      1. 假设我们有一组相互独立的随机变量 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$。
      2. 如果我们将它们加在一起，得到 ${\sum }_i{Z}_i$。
      3. 公式表明，这个总和的期望值 $E\left({\sum }_i{Z}_i\right)$ 可以直接等于每个随机变量的期望值 $E(Z_i)$ 的总和 ${\sum }_{i}E(Z_i)$。
   3. 线性代数：这就像在向量空间中，向量的线性组合的期望是各个向量期望的线性组合。期望值的这种性质使得它可以穿透到每个独立的分量上。
2. 方差的可加性（针对独立随机变量）：$D\left({\sum }_i{Z}_i\right)={\sum }_{i}D(Z_i)$
   1. 含义：这条公式表明，多个独立随机变量的和的方差等于这些随机变量的方差的和。
   2. 解释：
      1. 同样地，假设我们有一组相互独立的随机变量 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$。
      2. 当我们将它们加在一起时，它们的方差 $D\left({\sum }_i{Z}_i\right)$ 等于它们各自的方差之和 ${\sum }_{i}D(Z_i)$。
   3. 为什么只适用于独立随机变量：
      1. 方差的可加性要求这些随机变量之间没有协方差，即它们是相互独立的。如果随机变量之间存在相关性（协方差不为零），那么它们之间的依赖关系会影响总和的方差。
      2. 在独立的情况下，协方差为零，因此方差可以直接相加。
3. 总结
   1. 期望公式: 对于相互独立的随机变量，它们的和的期望等于各自期望的和。这是因为期望是线性的，可以穿透到每个独立的随机变量上
   2. 方差公式: 对于相互独立的随机变量，它们的和的方差等于各自方差的和。因为独立性保证了没有有效的额外协方差项需要考虑。

根据上面的公式，可以轻松的得出 $q\cdot k$ 的均值为 $E(qk)=0$，$D(qk)=d_k$。
所以方差越大，对应的 $qk$ 的点积就越大，这样 $Softmax$ 的输出分布就会更加偏向值所在的分量。
一个技巧就是将点积除以 $\sqrt{d_k}$，将方差在数学上“重新”拉回 1：KaTeX parse error: {align*} can be used only in display mode.
最终的结论：通过数学上的技巧将方差控制在 1，也就有效的控制了点积结果的发散，也就控制了对应的梯度消失的问题。

7、小结

1. $self-attention$机制的重点是使用三元组(Q, K, V)参与规则运算, 这里面$Q=K=V$。
2. $self-attention$最大的优越是可以方便有效的提取远距离依赖的特征和结构信息, 不必像向$RNN$那样依次计算并传递结果。
3. 关于$self-attention$采用三元组的原因, 经典实现的方式数学意义明确, 理由充分, 至于其他方式的可行性暂时没有专门论文做充分的对比实验研究。
4. 学习了$softmax$函数的输出是如何影响输出分布的。
   1. $softmax$函数本质是对输入的数据做一次归一化处理, 但是输入元素的数量级对$softmax$最终的分布影响非常之大。
   2. 在输入元素的数量级较大时, $softmax$函数几乎将全部的概率分布都分配给了最大值分量所对应的元素。
5. 学习了$softmax$函数在反向传播的过程中是如何梯度求导的。
   1. 具体的推导过程见正文部分, 注意要分两种情况讨论, 分别处理。
6. 学习了$softmax$函数出现梯度消失现象的原因。
   1. 结合第一步, 第二步的结论, 可以很清楚的看到最终的梯度矩阵接近于零矩阵, 这样在进行参数更新的时候就会导致梯度消失现象。
7. 学习了维度和点积大小的关系推导。
   1. 通过期望和方差的推导理解了为什么点积会造成方差变大。
   2. 理解了通过数学技巧$\sqrt{d_k}$就可以让方差恢复到1。