迹-行列式平面上平面系统分析
在前面的章节中,我们遇到了许多不同类型的线性微分方程系统。到目前为止,可能会觉得这些系统有很多不同的可能性,每种都有其独特的特征。为了将这些例子放在整体视角下进行回顾,创建一个表格是一个有用的方法。
总结我们到目前为止所做的工作的一种方法是制作一个表格。正如我们所见,线性系统的行为由系统的特征值和特征向量决定,因此我们的表格应包含以下内容:
- 系统的名称(螺旋汇聚点、鞍点、源点等)
- 特征值条件
- 一到两个代表性的相图
例如,我们可以开始构建如下表格:
正如在数学中常见的那样,从多个不同的角度查看信息是很有帮助的。既然我们正在寻找“大图景”,为什么不尝试用一幅图像而不是表格来总结线性系统的不同行为呢?一种这样的图像叫做“迹-行列式平面”。我们现在来介绍线性系统的一个重要工具——迹(trace)和行列式(determinant)。
考虑线性系统 d Y d t = A Y \frac{dY}{dt} = AY dtdY=AY,其中 A A A 是矩阵
A = ( a b c d ) . A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. A=(acbd).
矩阵 A A A 的特征多项式是
det ( A − λ I ) = ( a − λ ) ( d − λ ) − b c = λ 2 − ( a + d ) λ + a d − b c . \text{det}(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a + d)\lambda + ad - bc. det(A−λI)=(a−λ)(d−λ)−bc=λ2−(a+d)λ+ad−bc.
这里, a + d a + d a+d 被称为矩阵 A A A 的迹(trace),而 a d − b c ad - bc ad−bc 是矩阵 A A A 的行列式(determinant)。因此,矩阵 A A A 的特征多项式可以更简洁地写作
λ 2 − T λ + D , \lambda^2 - T\lambda + D, λ2−Tλ+D,
其中 T = a + d T = a + d T=a+d 是 A A A 的迹, D = a d − b c D = ad - bc D=ad−bc 是 A A A 的行列式。例如,如果
A = ( 1 2 3 4 ) , A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, A=(1324),
则特征多项式是 λ 2 − 5 λ − 2 \lambda^2 - 5\lambda - 2 λ2−5λ−2,因为 T = 5 T = 5 T=5 和 D = 4 − 6 = − 2 D = 4 - 6 = -2 D=4−6=−2。(注意: λ \lambda λ 项的系数是 − T -T −T,这是一个易犯的错误。)
由于矩阵 A A A 的特征多项式仅依赖于 T T T 和 D D D,因此 A A A 的特征值也仅依赖于 T T T 和 D D D。如果我们解特征多项式 λ 2 − T λ + D = 0 \lambda^2 - T\lambda + D = 0 λ2−Tλ+D=0,可以得到特征值
λ = T ± T 2 − 4 D 2 . \lambda = \frac{T \pm \sqrt{T^2 - 4D}}{2}. λ=2T±T2−4D.
从这个公式我们可以立刻看到,特征值为复数的条件是 T 2 − 4 D < 0 T^2 - 4D < 0 T2−4D<0,特征值是重根的条件是 T 2 − 4 D = 0 T^2 - 4D = 0 T2−4D=0,特征值实数,且互不相同的条件是 T 2 − 4 D > 0 T^2 - 4D > 0 T2−4D>0。
迹-行列式平面
我们现在可以通过考察迹-行列式平面来绘制线性系统的总体图景。我们水平绘制 T T T 轴,垂直绘制 D D D 轴。然后,曲线 T 2 − 4 D = 0 T^2 - 4D = 0 T2−4D=0 或等效地 D = T 2 4 D = \frac{T^2}{4} D=4T2 是这个平面上开口向上的抛物线。我们称之为复根抛物线。在这个抛物线之上, T 2 − 4 D < 0 T^2 - 4D < 0 T2−4D