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二叉树
结构
二叉树和二叉搜索树介绍
1.创建树
2.插入一个键
3.树的遍历
中序排序
先序遍历
后序遍历
4.搜索树中的值
5.删除节点
二叉树
在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。 一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树，称为满二叉树。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树。具有n个节点的完全二叉树的深度为floor(log2n)+1。深度为k的完全二叉树，至少有2k-1个叶子节点，至多有2k-1个节点。。
- 以上是书面解答 —— 下面我总结一下
结构
接下来让我们一起来探讨js数据结构中的树。这里的树类比现实生活中的树，有树干，树枝，在程序中树是一种数据结构，对于存储需要快速查找的数据非有用，它是一种分层数据的抽象模型。一个树结构包含一系列存在父子关系的节点。每个节点都有一个父节点以及零个或多个子节点。如下所以为一个树结构：）
和树相关的概念：1.子树：由节点和他的后代构成，如上图标示处。2.深度：节点的深度取决于它祖节点的数量，比如节点5有2个祖节点，他的深度为2。3.高度：树的高度取决于所有节点深度的最大值。
二叉树和二叉搜索树介绍
二叉树中的节点最多只能有2个子节点，一个是左侧子节点，一个是右侧子节点，这样定义的好处是有利于我们写出更高效的插入，查找，删除节点的算法。
二叉搜索树是二叉树的一种，但是它只允许你在左侧子节点存储比父节点小的值，但在右侧节点存储比父节点大的值。接下来我们将按照这个思路去实现一个二叉搜索树。
1.创建树
这里我们将使用构造函数去创建一个类：
class Node {
constructor(key) {
this.key = key;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
class BST {
constructor(key) {
this.root = null;
}
}
- 我们将使用和链表类似的指针方式去表示节点之间的关系
- Node 类：这个类是二叉树中的节点，每个节点包含一个键（key）和两个指向其他节点的链接（left 和 right）。
- BST 类：这个类代表一个二叉搜索树，它有一个根节点
root。
2.插入一个键
向树中插入一个新的节点主要有以下三部分：
- 1.创建新节点的Node类实例
- 2.判断插入操作是否为根节点,是根节点就将其指向根节点
- 3.将节点加入非根节点的其他位置。
insert(key) {
if (this.root === null) {
this.root = new Node(key);
} else {
this.insertNode(this.root, key);
}
}- 首先，方法检查
key是否小于当前节点的key（即node.key）。 - 如果
key小于当前节点的key，则需要将新节点插入到当前节点的左子树中：- 如果当前节点的左子节点是
null（即没有左子节点），则创建一个新的Node实例，并将key作为其键值，然后将其赋值给node.left。 - 如果左子节点不是
null，则递归调用insertNode方法，将当前节点的左子节点作为新的node参数，继续在左子树中查找插入位置。
- 如果当前节点的左子节点是
- 如果
key大于或等于当前节点的key，则需要将新节点插入到当前节点的右子树中
insertNode(node, key) {
if (key < node.key) {
node.left === null
? (node.left = new Node(key))
: this.insertNode(node.left, key);
} else {
node.right === null
? (node.right = new Node(key))
: this.insertNode(node.right, key);
}
}3.树的遍历
访问树的所有节点有三种遍历方式：中序，先序和后序。
- 中序遍历：以从最小到最大的顺序访问所有节点
- 先序遍历：以优先于后代节点的顺序访问每个节点
- 后序遍历：先访问节点的后代节点再访问节点本身
根据以上的介绍，我们可以有以下的实现代码。
中序排序
中序遍历是一种按升序访问树中所有节点的遍历方法。在二叉树中，中序遍历的顺序是先访问左子树，然后访问根节点，最后访问右子树。这种遍历方式对于二叉搜索树（BST）特别有用，因为它可以保证遍历的结果是树中元素的有序列表。
中序遍历的步骤：
- 访问左子树，进行中序遍历。
- 访问根节点。
- 访问右子树，进行中序遍历。
- 代码实现
inOrderTraverse(cb) {
this.inOrderTraverseNode(this.root, cb);
}
// 辅助函数
inOrderTraverseNode(node, cb) {
if (node !== null) {
this.inOrderTraverseNode(node.left, cb);
cb(node.key);
this.inOrderTraverseNode(node.right, cb);
}
}递归的调用过程是不断往左边走，当左边走不下去了，就打印节点，并转向右边，然后右边继续这个过程。
我们在迭代实现时，就可以用栈来模拟上面的调用过程。
先序遍历
递归思路：先树根，然后左子树，然后右子树。每棵子树递归。在迭代算法中，思路演变成，每到一个节点 A，就应该立即访问它。 因为，每棵子树都先访问其根节点。对节点的左右子树来说，也一定是先访问根。 在 A 的两棵子树中，遍历完左子树后，再遍历右子树。
因此，在访问完根节点后，遍历左子树前，要将右子树压入栈。
先序遍历的步骤：
- 访问根节点。
- 访问左子树，进行先序遍历。
- 访问右子树，进行先序遍历。
后序遍历
后序遍历是一种先访问所有子节点，最后访问当前节点的遍历方法。在后序遍历中，根节点是最后被访问的，遍历顺序是左子树、右子树，然后是根节点。
后序遍历的步骤：
- 访问左子树，进行后序遍历。
- 访问右子树，进行后序遍历。
- 访问根节点。
// 后续遍历 --- 先访问后代节点，再访问节点本身
postOrderTraverse(cb) {
this.postOrderTraverseNode(this.root, cb);
}
// 后续遍历辅助方法
postOrderTraverseNode(node, cb) {
if (node !== null) {
this.postOrderTraverseNode(node.left, cb);
this.postOrderTraverseNode(node.right, cb);
cb(node.key);
}
}
4.搜索树中的值
在树中有三种经常执行的搜索类型：最大值，最小值，特定的值。
- 每个节点的左子树上所有节点的键值都小于它的键值。
- 每个节点的右子树上所有节点的键值都大于它的键值。
- 每个节点的左、右子树也分别是二叉搜索树。
代码中的几个方法分别实现了以下功能：
-
min()和minNode(node)：这两个方法用于找到二叉搜索树中的最小值。最小值是树中左子树的最末端节点的键值。minNode方法从给定的节点开始，一直向左遍历，直到找到最左端的节点，然后返回该节点的键值。 -
max()和maxNode(node)：这两个方法用于找到二叉搜索树中的最大值。最大值是树中右子树的最末端节点的键值。maxNode方法从给定的节点开始，一直向右遍历，直到找到最右端的节点，然后返回该节点的键值。 -
search(key)和searchNode(node, key)：这两个方法用于在二叉搜索树中搜索一个特定的键值。searchNode方法从给定的节点开始，根据键值的大小递归地在左子树或右子树中搜索，直到找到匹配的键值或遍历到空节点，表示键值不存在于树中。
具体到搜索值的过程，searchNode 方法的工作原理如下：
- 如果当前节点为
null，表示已经到达树的末端，但没有找到键值，返回false。 - 如果键值小于当前节点的键值，递归地在当前节点的左子树中搜索。
- 如果键值大于当前节点的键值，递归地在当前节点的右子树中搜索。
- 如果键值等于当前节点的键值，表示找到了匹配的键值，返回
true。
这种搜索方法利用了二叉搜索树的性质，可以高效地进行查找操作，其时间复杂度通常为 O(h)，其中 h 是树的高度。在平衡的二叉搜索树中，这个操作的时间复杂度接近 O(log n)，其中 n 是树中节点的数量。
// 最小值;
min() {
return this.minNode(this.root);
}
minNode(node) {
if (node) {
while (node && node.left !== null) {
node = node.left;
}
return node.key;
}
return null;
}
// 最大值;
max() {
return this.maxNode(this.root);
}
maxNode(node) {
if (node) {
while (node && node.right !== null) {
node = node.right;
}
return node.key;
}
return null;
}
// 搜索树中某个值
search(key) {
return this.searchNode(this.root, key);
}
// 搜索辅助方法
searchNode(node, key) {
if (node === null) {
return false;
}
if (key < node.key) {
return this.searchNode(node.left, key);
} else if (key > node.key) {
return this.searchNode(node.right, key);
} else {
return true;
}
}5.删除节点
删除二叉搜索树中的一个节点通常分为以下几个步骤：
-
查找要删除的节点：首先，需要找到要删除的节点。这可以通过递归遍历树来完成。
-
确定删除情况：找到节点后，需要确定该节点是叶子节点、只有一个子节点的节点，还是有两个子节点的节点。
-
删除叶子节点：如果节点是叶子节点（即没有子节点），可以直接删除该节点。
-
删除只有一个子节点的节点：如果节点只有一个子节点，可以删除该节点，并用其子节点来替代它。
-
删除有两个子节点的节点：这是最复杂的情况。如果节点有两个子节点，不能简单地删除它，因为这会破坏二叉搜索树的性质。通常的做法是找到该节点的直接前驱（通常是其右子树中的最小节点）或直接后继（通常是其左子树中的最大节点），然后将其值复制到当前节点上，接着删除原来的直接前驱或直接后继。
// 删除
remove(key) {
this.root = this.removeNode(this.root, key);
}
findMinNode(node) {
if (node) {
while (node && node.left !== null) {
node = node.left;
}
return node;
}
return null;
}
removeNode(node, key) {
if (node === null) {
return null;
}
if (key < node.key) {
node.left = this.removeNode(node.left, key);
return node;
} else if (key > node.key) {
node.right = this.removeNode(node.right, key);
return node;
} else {
if (node.left === null && node.right === null) {
node = null;
return node;
}
if (node.left === null) {
node = node.right;
return node;
} else if (node.right === null) {
node = node.left;
return node;
}
// 有两个子节点的节点
let aux = this.findMinNode(node.right);
node.key = aux.key;
node.right = this.removeNode(node.right, aux.key);
return node;
}
}remove 方法是删除操作的入口，它调用 removeNode 方法来递归地删除节点。findMinNode 方法用于找到给定节点的右子树中的最小节点，这个最小节点将被用来替换当前要删除的节点。
以下是 removeNode 方法的逻辑解释：
- 如果当前节点为空，说明没有找到要删除的节点，直接返回
null。 - 如果要删除的键值小于当前节点的键值，说明要删除的节点在当前节点的左子树中，递归地在左子树中删除。
- 如果要删除的键值大于当前节点的键值，说明要删除的节点在当前节点的右子树中，递归地在右子树中删除。
- 如果找到了要删除的节点（键值相等），则根据其子节点的数量来决定删除策略：
- 如果没有子节点，直接删除该节点。
- 如果只有一个子节点（左或右），用其子节点替换当前节点。
- 如果有两个子节点，找到右子树中的最小节点，用该最小节点的键值替换当前节点的键值，然后删除原来的最小节点。
通过这种方式，二叉搜索树在删除节点后仍然保持其性质，即任何节点的左子树上的键值都小于该节点的键值，右子树上的键值都大于或等于该节点的键值。
