图论最短路

文章目录

单源最短路
- 朴素Dijkstra
- - 代码
- 堆优化Dijkstra
- - 代码
- Bellman-ford
- - 代码
- spfa
- - spfa求最短路
  - - 代码
  - spfa判断负环
  - - 代码
多源最短路
- Floyd
- - 代码

单源最短路

朴素Dijkstra

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 $- 1$ 。
输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$ 。
接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x, y, z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。
输出格式
输出一个整数，表示 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 $- 1$ 。
数据范围
$\le n \le 500$ ,
$\le m \le 10^5$ ,
图中涉及边长均不超过10000。

输入样例：

输出样例：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505;
int n,m;
int g[N][N]; // 因为是稠密图（点少 边多），所以用邻接矩阵存储
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N];  // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
int dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f, sizeof(dist)); // 先认定，点 1 到 任意点的最短路径为 无穷大
    dist[1]=0; // 点 1 到 点 1 的最短路径为 0 
    for(int i=0;i<n;i++) // 迭代 n 次，每次确定一个点的最短路径
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        { // 找到 未确定的 点1 到 某点 的最短路径 中 的 最短路径
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))
            {
                t=j;
            }
        }
        st[t]=true;  // 标记已确定 点1 到 点t 的最短路径 
        for(int j=1;j<=n;j++)
        { // 如果 点1 到 点j 的距离(dist[j]) 小于 点1 到 点t 的距离加上点t 到 点j 的距离，更新dist[j]
            dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    cin>>n>>m;
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=min(g[a][b],c);
    }
    int t=dijkstra();
    cout<<t;
    return 0;
}

堆优化Dijkstra

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。
请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 $- 1$ 。
输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$ 。
接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x, y, z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。
输出格式
输出一个整数，表示 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 $- 1$ 。
数据范围
$\le n,m \le 1.5 \times 10^5$ ,
图中涉及边长均不小于 $0$ ，且不超过 $10000$ 。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 $10^9$ 。
输入样例：

输出样例：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
const int N=2e5+10;
int n,m;
int w[N],e[N],ne[N],h[N],idx; // 稀疏图(点 与 边 大致相同)，用邻接表
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N];  // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; // 邻接表的储存
}
int dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f, sizeof(dist)); // 先认定，点 1 到 任意点的最短路径为 无穷大
    dist[1]=0;
    priority_queue<PII, vector<PII> ,greater<PII> >heap; // 小顶堆，储存返回最小的路径 和 在某点
    heap.push({0,1}); // 将 起点 输入进优先队列
    while(heap.size())
    {
        auto t=heap.top(); // 返回当前最小路径
        heap.pop(); // 删除当前最小路径
        int ver=t.second,distance=t.first; // ver 当前位置，distance 当前最短距离
        if(st[ver])continue; // 已确定该点最小路径，继续
        st[ver]=true; // 确定该点最小路径
        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
             // 如果 点1 到 点j 的距离(dist[j]) 小于 点1 到 点t 的距离加上点t 到 点j 的距离，更新dist[j]
            if(dist[j]>distance+w[i]) 
            {
                dist[j]=distance+w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof(h));
    cin>>n>>m;
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    int t=dijkstra();
    cout<<t;
    return 0;
}

Bellman-ford

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出从 $1$ 号点到 $n$ 号点的最多经过 $k$ 条边的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，输出 impossible。
注意：图中可能 存在负权回路 。
输入格式
第一行包含三个整数 $n, m, k$ 。
接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x, y, z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。
点的编号为 $\sim n$ 。
输出格式
输出一个整数，表示从 $1$ 号点到 $n$ 号点的最多经过 $k$ 条边的最短距离。
如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。
数据范围
$\le n,k \le 500$ ,
$\le m \le 10000$ ,
$\le x,y \le n$ ，
任意边长的绝对值不超过 $10000$ 。
输入样例：

输出样例：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510,M=1e5+10;
int dist[N],backup[N];
int n,m,k;
struct op{
    int a,b,w;
}edges[M];
int bellman_ford()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[1]=0;
    for(int i=0;i<k;i++) // 限制次数
    {
        memcpy(backup, dist, sizeof dist); // 每次使用上一次的距离更新当前距离，防止连带影响
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            int a=edges[j].a, b=edges[j].b, w=edges[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
        }
    }
    if(dist[n] > 0x3f3f3f3f/2)   cout<<"impossible";
    else    cout<<dist[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
        edges[i]={x,y,z};
    }
    bellman_ford();
    return 0;
}

spfa

spfa求最短路

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 impossible。
数据保证不存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$ 。
接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x, y, z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。
输出格式
输出一个整数，表示 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 impossible。
数据范围
$\le n,m \le 10^5$ ,
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$ 。
输入样例：

输出样例：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
const int N=2e5+10;
int n,m;
int w[N],e[N],ne[N],h[N],idx; // 稀疏图(点 与 边 大致相同)，用邻接表
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N];  // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
int ff=0;
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; // 邻接表的储存
}
void spfa()
{
    memset(dist,0x3f, sizeof(dist)); // 先认定，点 1 到 任意点的最短路径为 无穷大
    dist[1]=0;
    queue<int>q;
    q.push(1);
    st[1]=true;
    while(q.size())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i])
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f)    ff=1;
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof(h));
    cin>>n>>m;
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    spfa();
    if(ff==1)   cout<<"impossible";
    else cout<<dist[n];
    return 0;
}

spfa判断负环

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你判断图中是否存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$ 。
接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x, y, z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。
输出格式
如果图中存在负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。
数据范围
$\le n \le 2000$ ,
$\le m \le 10000$ ,
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$ 。
输入样例：

输出样例：

Yes

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010,M=1e5+10;
int n,m;
int w[M],e[M],ne[M],h[M],idx; // 稀疏图(点 与 边 大致相同)，用邻接表
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N];  // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
int ff=0,fa=0;
int cnt[N];
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; // 邻接表的储存
}
int spfa()
{
    queue<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        q.push(i);
        st[i]=true;
    }
    while(q.size())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i])
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=n)    return true; // 当此路经过 n+1 个点的时候，则表明存在负环 
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof(h));
    cin>>n>>m;
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    if(spfa())   cout<<"Yes";
    else cout<<"No";
    return 0;
}

多源最短路

Floyd

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$ ，表示查询从点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。
数据保证图中不存在负权回路。
输入格式
第一行包含三个整数 $n, m, k$ 。
接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x, y, z$ ，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$ 。
接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $x, y$ ，表示询问点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离。
输出格式0
共 $k$ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。
数据范围
$\le n \le 200$ ,
$\le k \le n^2$
$\le m \le 20000$ ,
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$ 。
输入样例：

输出样例：

impossible
1

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300,INF=1e9;
int n,m,k;
int d[N][N];
void floyd()
{
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); // 从 点i 到 点j 只经过 点1 到点k 的最短距离
}
int main()
{
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i==j)    d[i][j]=0;
            else    d[i][j]=INF;
        }
    }
    while(m--)
    {
        int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
        d[x][y]=min(d[x][y],z);  // 重边保留最小值
    }
    floyd();
    while(k--)
    {
        int x,y;cin>>x>>y;
        if(d[x][y]>=INF/2)   cout<<"impossible\n";
        else    cout<<d[x][y]<<'\n';
    }
    return 0;
}