文章目录
- 并查集
- 简单介绍：
- 初始化：
- 如何查找？
- 如何合并？
- 优化如下：
- 路径压缩：
- 代码：
- 按秩合并：
- **代码：**
- 启发式合并（按大小合并）：
- 代码:
- 例题：
- 题意：
- 思路：
- 代码1（路径压缩）：
- 代码2（按秩合并）：
- **代码（按大小合并）：**
并查集
简单介绍：
并查集是一种树形的数据结构，可以用它处理一些不交集合并、查询以及连通块等问题。通常包含以下两个操作：
find：查询两个元素是否为同一集合
merge：将两个集合合并为一个集合
初始化：
我们可以将同一集合的元素存到一个类似于树的结构，用一个数组fa[N]来存储，我们将其初始化为i：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
}
当有别的同一集合元素出现时，我们可以改变其fa[i]的值,为什么初始化为i？
因为这样可以用是否fa[i]=i来判断该节点是否为祖宗节点，我们在看完查找或许会更清晰明白
如何查找？
- 我们每次同一集合的会存储在同一树的结构，因此当我们判断两个元素的祖宗节点是否相同即可
- 此时便用到上文提到的判断是否为祖宗结点的方法
- 如果判断a，b元素是否为同一集合元素，先对a进行处理，如果a为祖宗节点（fa[i]=i),则将a值返回，否则递归fa[a],直到找到祖宗节点为止，b也是如此，然后将其返回值判断是否相等
int find(int x)
{
if (x == fa[x])
return x;
else
return find(fa[x]);
}
如何合并？
- 合并时我们应先判断是否最初为一个集合，如果不是，则无需操作
- 如果不是，我们需要将其中一个元素的父节点赋值为另一个元素即可
int fx=findset(x);
int fy=findset(y);
if(fx==fy)
continue;
else
fa[fx]=fy;
优化如下：
路径压缩：
时间复杂度O（1）
我们可以进行优化，当我们在找寻一个祖宗节点时需要将其元素遍历一遍，挺麻烦的，如果我们能将每个元素和祖宗节点连在一起，就会方便许多，不过它会破坏树的结构
代码：
int find(int x)
{
if (fa[x] == x)
return x;
fa[x] = find(fa[x]);//路径压缩
return fa[x];
}
按秩合并：
时间复杂度O（logn）
我们给每一个根节点定一个秩（用rnk数组存储，rnk[i]代表节点i的秩），按秩合并中，当前节点子树的的深度作为树的秩，如果是根节点，秩即为树的深度.此时我们会改变树的结构，不可以再使用路径压缩.
合并集合的时候根节点秩小的集合 合并到秩大的集合，为什么要这么做呢？
图1：
图2：
图3：
当我们将图1中合并时，如果选择将秩大的集合 合并到秩小的集合（即图3），则会使树的结构更长，在数据结构中树的结构短胖才是比较优的，因此我们选择将秩小的集合 合并到秩大的集合（即图2），当查找根节点时更易于查找
但是当两者树的深度一样时，合并以后树的深度需要加1
代码：
int root(int x)
{
while(fa[x]^x)//异或在这里等价于！=
x=fa[x];
return x;
}
void merge(int x, int y)
{
x = root(x);
y = root(y);
if(x == y)
return;
if(rnk[x] > rnk[y]) //如果x所在树比y所在树深
swap(x,y);
fa[x]=y;
if(rnk[x] == rnk[y]) //如果x所在树与y所在树深相等
rnk[y] ++;
}
启发式合并（按大小合并）：
这个与按秩合并道理类似，我们选择将节点较少的集合 合并到较多的集合，这样就是只有较少的点找寻根节点时会多走，此时为最优
代码:
int find(int x)
{
while(fa[x]^x)
x=fa[x];
return x;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
sz[i]=1;
}
void merge(int x, int y)
{
x = find(x);
y = find(y);
if(x == y)
return;
if(sz[x] > sz[y]) //如果x所在树节点数大于y所在树节点数
swap(x,y);//交换x，y
sz[y] += sz[x]; //更新x所在树节点个数
fa[x] = y; //y所在集合合并到x所在集合
}
例题：
P3367 【模板】并查集
题意：
有一个并查集，n个元素，m个操作，每次操作给出3个数z,x,y : z为1，将 x与 y所在的集合合并；z为2时，输出x 与y 是否在同一集合内，是的输出 Y ；否则输出 N 。
思路：
模板题，我们直接用我们上文讲到的方法解决即可
代码1（路径压缩）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int fa[10010];
int findset(int x)
{
if(fa[x]==x)
return x;
fa[x]=findset(fa[x]);
return fa[x];
}
void solve()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
cin>>z>>x>>y;
if(z==1)
{
int fx=findset(x);
int fy=findset(y);
if(fx==fy)
continue;
else
fa[fx]=fy;
}
else
{
int fx=findset(x);
int fy=findset(y);
if(fx==fy)
cout<<"Y"<<endl;
else
cout<<"N"<<endl;
}
}
return;
}
signed main()
{
IOS
int t;
t=1;
// cin>>t;
while(t--)
solve();
return 0;
}
代码2（按秩合并）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int fa[10010];
int rnk[10010];
int root(int x)
{
while(fa[x]^x)
x=fa[x];
return x;
}
void merge(int x, int y)
{
x = root(x);
y = root(y);
if(x == y)
return;
if(rnk[x]>rnk[y])
swap(x,y);
fa[x]=y;
if(rnk[x] == rnk[y]) //如果x所在树与y所在树深相等
rnk[y] ++;
}
void solve()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
rnk[i]=1;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
cin>>z>>x>>y;
if(z==1)
{
merge(x,y);
}
else
{
int fx=root(x);
int fy=root(y);
if(fx==fy)
cout<<"Y"<<endl;
else
cout<<"N"<<endl;
}
}
return;
}
signed main()
{
IOS
int t;
t=1;
// cin>>t;
while(t--)
solve();
return 0;
}
注意：不要随意使用rank数组，自定义的rank变量与库中重名
代码（按大小合并）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int fa[10010];
int sz[10010];
int find(int x)
{
while(fa[x]^x)
x=fa[x];
return x;
}
void merge(int x, int y)
{
x = find(x);
y = find(y);
if(x == y)
return;
if(sz[x] > sz[y]) //如果x所在树节点数大于y所在树节点数
swap(x,y);//交换x，y
sz[y] += sz[x]; //更新x所在树节点个数
fa[x] = y; //y所在集合合并到x所在集合
}
void solve()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
sz[i]=1;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
cin>>z>>x>>y;
if(z==1)
{
merge(x,y);
}
else
{
int fx=find(x);
int fy=find(y);
if(fx==fy)
cout<<"Y"<<endl;
else
cout<<"N"<<endl;
}
}
return;
}
signed main()
{
IOS
int t;
t=1;
// cin>>t;
while(t--)
solve();
return 0;
}
