119 多层次模型

19.1 简介

多层次模型（也称为层次线性模型或混合效应模型）在处理具有嵌套结构的数据时非常有用。例如，在教育数据中，学生嵌套在班级中，班级嵌套在学校中。多层次模型允许我们同时建模这些不同层次的影响。

19.2 多层次模型的基本结构

多层次模型的基本形式可以表示为：

其中，是第 j个组中第 i个观测值，是对应的预测变量，是组级随机效应， 是个体级误差。

在Python中，我们可以使用statsmodels库来拟合多层次模型。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.formula.api as smf

# 生成模拟数据
np.random.seed(42)
n_groups = 10
group_size = 20
groups = np.repeat(np.arange(n_groups), group_size)
X = np.random.randn(n_groups * group_size)
Z = np.random.randn(n_groups)
y = 1 + 0.5 * X + Z[groups] + np.random.randn(n_groups * group_size) * 0.1

# 将数据整理为DataFrame
data = pd.DataFrame({'y': y, 'X': X, 'group': groups})

# 构建多层次模型
model = smf.mixedlm("y ~ X", data, groups=data["group"])
result = model.fit()
print(result.summary())

19.3 模型解释

在多层次模型中，系数可以分为固定效应和随机效应。固定效应解释的是群体水平的平均效应，而随机效应解释的是组间差异。

在模型输出中，Intercept和X对应的是固定效应的系数，而groups对应的是随机效应的标准差。

19.4 复杂的多层次结构

当数据具有更复杂的嵌套结构时，多层次模型可以进一步扩展。例如，我们可以引入多个随机效应来捕捉不同层次的影响。

# 生成更复杂的模拟数据
Z2 = np.random.randn(n_groups)
y = 1 + 0.5 * X + Z[groups] + Z2[groups] + np.random.randn(n_groups * group_size) * 0.1

data = pd.DataFrame({'y': y, 'X': X, 'group1': groups, 'group2': groups})

# 构建多层次模型，包含两个随机效应
model = smf.mixedlm("y ~ X", data, groups=data["group1"], re_formula="1 + X")
result = model.fit()
print(result.summary())

19.5 应用案例：教育数据中的多层次模型

多层次模型的一个经典应用是在教育数据中建模学生成绩。学生嵌套在班级中，班级嵌套在学校中。通过多层次模型，我们可以同时估计班级和学校的效应，并分析不同层次的变异来源。