树链剖分学习

news2025/1/10 23:57:45

1.算法适用：维护树上一段或者某个点的子树权值和，同时支持树上路径大小修改，子树修改

2.实现：将树剖分成一条一条链，重链和轻链。其中，轻链连接非重儿子，重链相反。

3.主体部分：

inline void dfs1(int x,int f,int deep){
    dep[x]=deep;
    fa[x]=f;
    siz[x]=1;
    int maxson=-1;
    for(int p:v[x]){
        if(p==f)continue;
        dfs1(p,x,deep+1);
        siz[x]+=siz[p];
        if(siz[p]>maxson)son[x]=p,maxson=siz[p];
    }

记录每一个点的深度，重儿子，子树数大小。其中重儿子需要与其他儿子点的权值大小作比较，并记录权值。

inline void dfs2(int x,int topf){
    dfn[x]=++cnt;
    wt[cnt]=val[x]; 
    top[x]=topf;
    if(!son[x])return;
    dfs2(son[x],topf);
    for(int p:v[x]){
        if(p==fa[x]||p==son[x])continue;
        dfs2(p,p);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链 
    }
}

记录每一个点的遍历序（方便线段树访问，维护整个序列）。同时将权值映射到dfs序上。遍历时优先遍历重儿子，随后遍历轻儿子（链顶变成改点），维护每一条链的链顶。

4.修改查询：

修改树上编号为 $[x,y]$ 的路径（加k），直到跳到相同链顶。

void upd_range(int x,int y,int k){
	k%=mod;
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])  swap(x,y);
		st.upd(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],k);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])  swap(x,y);
	st.upd(1,1,n,dfn[x],dfn[y],k);
}

修改子树（子树遍历序连续）。即是 $[dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1]$

void upd_son(int x,int k){
	st.upd(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,k);
}

int ser_son(int x){
	res=0;
	st.query_sum(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1);
	return res;
}
int ser_sum(int x,int y){
	int ans=0;
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[x]<dep[y])  swap(x,y);
		ans+=st.query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])  swap(x,y);
	ans+=st.query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]);
	return ans;
}

计算时取区间 $(dfn[top[x]],dfn[x])$ ，每次计算完成后跳到链顶的父亲。