我进一步把 bbr 模型简化为更一般的形式。设 x 为 bbr 流的 estimated bw，wₓ 为 bbr 流的 inflight，C 为瓶颈带宽，R 为传播时延，R_s 为总时延，pacing_rate 增益为 g：

$I(t)=total\_inflight\_at\_t$

bw 方程：$\frac{dx}{dt}=C\cdot \frac{g\cdot x\cdot R_s}{I(t)}-x$

inflt 方程：$\frac{d{w}_x}{dt}=x\cdot R-w_x$

其中 bw 方程体现了 probebw 状态 gain = 1.25 阶段，inflt 方程体现了 probebw 状态 gain = 0.75(or 0.9) 阶段，若 2 流共存，其 bw 分别为 x，y，则可化简为：

$\frac{dx}{dt}=C\cdot \frac{g\cdot x}{g\cdot x+y}-x$

$\frac{d{w}_x}{dt}=x\cdot R-w_x$

有趣的是，公平性恰恰由 probe 行为在 buffer 中促成，若把 g 调整为 1，初始值将永久持续不会发生任何变化：

probe 不仅用于获得空闲带宽资源，正是 g > 1 的 probe 行为促进了公平收敛。通过调整 g，g 越大，收敛越快：

接下来设 g = 2.25，收敛更快：

代价是 buffer 占率更高。可见，如何在 buffer 占率和收敛速度之间 tradeoff，是 bbr 调参的一大关键。

在 buffer 中持续腾挪数据包是公平性的保证，buffer 作为操作空间，若一点 buffer 都不用，则无法保证公平收敛。buffer 给了流量努力的空间和机会，努力才会公平，其中的不变量就是瓶颈带宽 C。
这背后的 why 在直观上非常显见，以 aimd 为例，若 buffer 无限大，随着 additive increase，buffer 占用越来越多，increase 幅度相同，意味着初始值的影响越来越小，buffer 占率趋向等分，带宽分配趋向公平，背后的理论是 ，W₁，W₂ 为两条流的厨师窗口，则随 x 的增加，$\frac{W_1+x}{W_2+x}$ 趋向于 1。

对于 bbr，稍有不同但大差不差。

与 aimd 不同，bbr 的 primary controller 是 rate，而注意到总瓶颈带宽 C 是不变量，虽 buffer 可无限，但 maxbw 有限，正是注意到这个不变量资源限制，bbr 才被提出用来在解决 bufferbloat 前提下提高带宽利用率。

若不限制 bbr 的 buffer 占用，就像 aimd 只 ai 不 md 一样，其模型将变成：

$I(t)=total_inflight_at_t $

$\frac{dx}{dt}=C\cdot \frac{g\cdot x\cdot R_s(t)}{I(t)}-x$

$\frac{d{w}_x}{dt}=x\cdot R_s-w_x$

$R_s(t)=\frac{I(t)}{C}$

给出最初时间段的趋势图：

可以看出虽然 inflt 由于 g = 1.25 强度的 probe 在快速发散，但 bw 仍然趋向收敛，这就是 buffer 动力学，与 aimd 殊途同归，buffer 占用越多，初始值的影响越微弱。

个中原因，不难计算一个 “bw 加速度” r：

$r=\frac{probe后的bw}{probe前的bw}=\frac{C\cdot \frac{g\cdot x}{g\cdot x+y}}{C\cdot \frac{x}{x+y}}=C\cdot \frac{g}{g\cdot x+C-x}=\frac{C\cdot g}{(g-1)\cdot x+C}$

这是一个关于 x 的减函数，带宽越小，r 越大，意味着 bw 加速度越大，这正是公平收敛的内在机理。

只需最后一步，像为 additive increase 增加一个 multiplicative decrease 一样，为 bbr 的增加 drain 机制，无论 probebw 状态的 g = 0.75 drain 还是 probertt 状态的 inflt = 4 drain，或 startup 后的 drain 状态，都起到往回收 buffer 的作用，但 buffer 动力学的结果却保留了下来，公平收敛持续进行。

从拥塞控制算法整体视角看，效率不是偶然，而是设计的结果，但公平却始自海阔凭鱼跃，天高任鸟飞，这也是科斯定律的机理。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。