遗传算法与深度学习实战（7）——使用遗传算法解决N皇后问题

- 0. 前言
- 1. N 皇后问题
- 2. 解的表示
- 3. 遗传算法解决 N 皇后问题
- 小结
- 系列链接

0. 前言

进化算法 (Evolutionary Algorithm, EA) 和遗传算法 (Genetic Algorithms, GA) 已成功解决了许多复杂的设计和布局问题，部分原因是它们采用了受控随机元素的搜索。这通常使得使用 EA 或 GA 设计的系统能够超越我们的理解进行创新。在本节中，我们将解决一个经典的设计和布局问题：N 皇后问题，这个问题使用大小为 N 的典型棋盘，经典的国际象棋棋盘大小为 8 (即 8×8 )。我们的目标是在棋盘上放置 N 个皇后棋子，使得没有一个棋子可以在不移动的情况下俘获另一个棋子。

1. N 皇后问题

在国际象棋中，皇后棋子是最强大的，可以沿着任何方向和距离移动。通常，每个玩家只有一个皇后棋子，但有一条特殊规则，允许玩家在将兵移动到对手的底线时加冕更多的皇后，皇后游戏的前提是玩家已经加冕了多个皇后(虽然这种情况在真实的比赛中可能永远不会发生，因为当玩家的国王棋子被俘获时，比赛就将结束)。
经典的 N 皇后问题最初被称为八皇后拼图，起源于国际象棋。任务是将八名皇后放置在棋盘上，而且他们中的任何两个都不互相构成威胁。换句话说，没有两个皇后可以在同一行、同一列或同一对角线。概括而言，N 皇后问题使用 N × N 的棋盘和 N (其中 N>3 )个皇后。对于原始的八皇后情形，有 92 个解，消除对称解，则有 12 个唯一解。
使用排列组合，将 8 个皇后放置在 8 × 8 棋盘上的所有可能方式有 4,426,165,368 种。但是，如果通过确保不会在同一行或同一列上放置两个皇后的方式创建候选解决方案，则可能的组合数量将减少到 $8! = 40320$ 个。

2. 解的表示

在解决 N 皇后问题时，利用以下前提条件：每行恰好容纳一个皇后，同时没有两个皇后共享同一列。这意味着可以将候选解表示为有序的整数列表或索引列表，每个索引表示皇后之一占据当前行的列数。例如，在 4×4 棋盘上的四皇后问题中，具有以下索引列表：

(3, 2, 0, 1)

表示(索引从 0 开始计数)：

在第一行中，皇后放置在第四列中
在第二行中，皇后放置在第三列中
在第三行中，皇后放置在第一列中
在第四行中，皇后放置在第二列中

3. 遗传算法解决 N 皇后问题

(1) 首先，导入所需库：

import random
import numpy as np

from deap import algorithms
from deap import base
from deap import creator
from deap import tools

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pyplot import figure

(2) 查看国际象棋棋盘上的皇后的初始位置。由于皇后棋子可以沿着任何方向和距离移动，因此这个游戏被限制在皇后的最大数量等于棋盘大小的情况下。在本节中，我们使用 8 个棋子，接下来，绘制皇后的初始位置：

board_size = number_of_queens = 8

chessboard = np.zeros((board_size,board_size))
chessboard[1::2,0::2] = 1
chessboard[0::2,1::2] = 1

figure(figsize=(6, 6), dpi=80)
plt.imshow(chessboard, cmap='binary')

for _ in range(number_of_queens):
    i, j = np.random.randint(0, board_size, 2)
    plt.text(i, j, '♕', fontsize=30, ha='center', va='center', color='black' if (i - j) % 2 == 0 else 'white')
plt.show()

下图显示了渲染后的棋盘和皇后棋子的移动方式。可以看到，选定的棋子可以立即俘获其他几个棋子，我们的目标是将所有皇后放置在没有一个棋子可以俘获另一个棋子的位置。

棋盘示例

(3) 皇后游戏的适应度评估函数 evalNQueens 通过采用一种简便方法来评估个体的适应度，而不是迭代运行每一种放置方式。该函数假设只能在一行或一列上放置一个皇后。因此，我们只需要评估皇后是否位于同一对角线，简化了适应度函数代码：

creator.create("FitnessMax", base.Fitness, weights=(-1.0,))
creator.create("Individual", list, fitness=creator.FitnessMax)

def evalNQueens(individual):
    size = len(individual)
    #Count the number of conflicts with other queens.
    #The conflicts can only be diagonal, count on each diagonal line
    left_diagonal = [0] * (2*size-1)
    right_diagonal = [0] * (2*size-1)
    
    #Sum the number of queens on each diagonal:
    for i in range(size):
        left_diagonal[i+individual[i]] += 1
        right_diagonal[size-1-i+individual[i]] += 1
    
    #Count the number of non-conflicts on each diagonal
    sum_ = 0
    for i in range(2*size-1):
        if left_diagonal[i] > 1:
            sum_ += left_diagonal[i] - 1
        if right_diagonal[i] > 1:
            sum_ += right_diagonal[i] - 1    
    return sum_,

(4) 在适应度评估函数之后，编写 eaSimple 函数，它是标准的 DEAP 中 algorithms.eaSimple 函数的副本。该函数与 OneMax 一节中使用的函数几乎完全相同，可以自定义输出表现最佳的个体，并测试是否可以提前停止。在以下代码中，比较了个体适应度与最大适应度，如果达到了最大适应度，进化过程将会提前停止：

toolbox = base.Toolbox()
toolbox.register("permutation", random.sample, range(number_of_queens), number_of_queens)
toolbox.register("individual", tools.initIterate, creator.Individual, toolbox.permutation)
toolbox.register("population", tools.initRepeat, list, toolbox.individual)

toolbox.register("evaluate", evalNQueens)
toolbox.register("mate", tools.cxPartialyMatched)
toolbox.register("mutate", tools.mutShuffleIndexes, indpb=2.0/number_of_queens)
toolbox.register("select", tools.selTournament, tournsize=3)

def plot_board(individual):  
    plt.imshow(chessboard, cmap='binary')
    for i in range(number_of_queens):               
        plt.text(i, individual[i], '♕', fontsize=20, ha='center', va='center', color='black' if (i - individual[i]) % 2 == 0 else 'white')
plt.show()

def eaSimple(population, toolbox, cxpb, mutpb, ngen, max, stats=None, halloffame=None, ):  
    logbook = tools.Logbook()
    logbook.header = ['gen', 'nevals'] + (stats.fields if stats else [])

    # Evaluate the individuals with an invalid fitness
    invalid_ind = [ind for ind in population if not ind.fitness.valid]
    fitnesses = toolbox.map(toolbox.evaluate, invalid_ind)
    for ind, fit in zip(invalid_ind, fitnesses):
        ind.fitness.values = fit

    if halloffame is not None:
        halloffame.update(population)

    record = stats.compile(population) if stats else {}
    logbook.record(gen=0, nevals=len(invalid_ind), **record)    
    print(logbook.stream)
    done = False

    # Begin the generational process
    for gen in range(1, ngen + 1):
        if done: return
        # Select the next generation individuals
        offspring = toolbox.select(population, len(population))

        offspring = [toolbox.clone(ind) for ind in offspring]

        # Apply crossover and mutation on the offspring
        for i in range(1, len(offspring), 2):
            if random.random() < cxpb:
                offspring[i - 1], offspring[i] = toolbox.mate(offspring[i - 1],
                                                              offspring[i])
                del offspring[i - 1].fitness.values, offspring[i].fitness.values

        for i in range(len(offspring)):
            if random.random() < mutpb:
                offspring[i], = toolbox.mutate(offspring[i])
                del offspring[i].fitness.values

        # Evaluate the individuals with an invalid fitness
        invalid_ind = [ind for ind in offspring if not ind.fitness.valid]
        fitnesses = toolbox.map(toolbox.evaluate, invalid_ind)
        
        for ind, fit in zip(invalid_ind, fitnesses):
            ind.fitness.values = fit            
            if fit[0] >= max:
              print("Solved")
              done = True

        # Update the hall of fame with the generated individuals
        if halloffame is not None:
            halloffame.update(offspring)            
            plot_board(halloffame[0])            

        # Replace the current population by the offspring
        population[:] = offspring

        # Append the current generation statistics to the logbook
        record = stats.compile(population) if stats else {}
        logbook.record(gen=gen, nevals=len(invalid_ind), **record)
        print(logbook.stream)

(5) 最后，执行种群的演化。首先创建种群和一个用于存储最佳个体的 HallOfFame 容器。然后，注册各种统计数据，最后调用 eaSimple 函数演化种群。在以下代码中，将 max = number_of_queens 作为输入来控制个体达到最大适应度时提前停止种群的进化：

pop = toolbox.population(n=100)
hof = tools.HallOfFame(1)
stats = tools.Statistics(lambda ind: ind.fitness.values)
stats.register("Avg", np.mean)
stats.register("Std", np.std)
stats.register("Min", np.min)
stats.register("Max", np.max)

eaSimple(pop, toolbox, cxpb=0.5, mutpb=0.2, ngen=100, max = number_of_queens,
         stats=stats ,halloffame=hof)

最后，查看进化过程的输出，并查看算法演化解决方案的效果如何。从输出中可以看出，演化过程能够提前停止(在第 5 代生成一个可行的解决方案)。重新查看解决方案，确认每个皇后无法互相攻击。可以增加棋盘大小和皇后数量(如增加到 16 或更大的值)，这可能需要同时增加种群大小和演化代数的数量。

运行结果

可以通过完成以下问题进一步理解使用 DEAP 库实现遗传算法的流程：

将要演化的种群大小更改为其他值，然后重新运行，观察较大的种群对演化的影响
更改交叉和突变率，然后重新运行，观察能否在更少的代数中解决问题
增加或减少锦标赛的大小，然后重新运行，观察锦标赛大小对演化的影响

小结

N 皇后问题是一个经典的组合问题，要求在一个( N x N )的棋盘上放置 N 个皇后，使得它们互相不能攻击到对方。遗传算法是解决 N 皇后问题的一种有效方法，本节中，我们使用 DEAP 库实现遗传算法解决了 N 皇后问题。

系列链接

遗传算法与深度学习实战（1）——进化深度学习
遗传算法与深度学习实战（2）——生命模拟及其应用
遗传算法与深度学习实战（3）——生命模拟与进化论
遗传算法与深度学习实战（4）——遗传算法详解与实现
遗传算法与深度学习实战（5）——遗传算法框架DEAP
遗传算法与深度学习实战（6）——DEAP框架初体验