动力系统的几何分析

捕食者-猎物系统的向量场

在第2.1节中，我们展示了两个不同捕食者-猎物系统的 $R(t)$ 和 $F(t)$ 图形，但没有描述我们是如何生成这些图形的。我们将在第2.5节中解决这个问题，采用欧拉方法推广到动力系统，构造数值近似解，通过引入向量符号，我们可以更方便的书写微分方程组，同时，使用向量，更容易建立了一个微分方程系统的几何表示。正如我们在第1章使用斜率场时看到的，拥有微分方程的几何表示为理解其解提供了一个方便的方法。

捕食者-食饵系统向量场

回顾捕食者-食饵系统
$$\frac{dR}{dt}=2R-1.2RF$$
$$\frac{dF}{dt}=-F+0.9RF$$
该系统模拟了两个种群 $R$ 和 $F$ 随时间 $t$ 的演变。上一节中，我们研究了两种不同的（但相关的）方式来可视化这种演变。我们可以将 $R(t)$ 和 $F(t)$ 作为 $t$ 的函数绘制图形，或者我们可以在 $RF$ 平面上绘制解曲线 $(R(t),F(t))$。尽管我们可以将 $(R(t),F(t))$ 视为两个标量函数 $R(t)$ 和 $F(t)$ 的组合，但如果我们采用不同的方法，将会有一些优势。本节，我们将函数对 $(R(t),F(t))$ 视为 $RF$ 平面上的一个向量函数。

对于每个 $t$，令 $P(t)$ 为向量
$$P(t)=\left(\begin{array}{c}R(t)\\ F(t)\end{array}\right)$$
那么，向量值函数 $P(t)$ 对应于 $RF$ 平面上的解曲线 $(R(t),F(t))$。

要计算向量值函数 $P(t)$ 的导数，我们计算每个分量的导数。即，
$$\frac{dP}{dt}=\left(\begin{array}{r}\frac{dR}{dt}\\ \frac{dF}{dt}\end{array}\right)$$
使用这种符号，我们可以将捕食者-猎物系统重写为单个向量方程
$$\frac{dP}{dt}=\left(\begin{array}{r}\frac{dR}{dt}\\ \frac{dF}{dt}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2R-1.2RF\\ -F+0.9RF\end{array}\right)$$
到目前为止，我们将由两个标量方程组成的一阶系统转换为一个两个分量的向量的单个向量方程。

向量符号的优势

向量符号的优势在于当我们将这个系统的右侧视为一个向量场时开始变得明显。捕食者-猎物系统的右侧是一个函数，该函数将每个 $RF$ 平面上的点分配一个向量。如果我们使用向量 $V$ 来表示这个函数，我们有
$$V\left(\begin{array}{c}R\\ F\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2R-1.2RF\\ -F+0.9RF\end{array}\right).$$

例如，在点 $(R,F)=(2,1)$ 处，
$$V\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2(2)-1.2(2)(1)\\ -(1)+0.9(2)(1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1.6\\ 0.8\end{array}\right).$$

为了节省纸张，我们有时将向量垂直书写（即“列”向量），有时水平书写（即“行”向量）。垂直符号更符合我们到目前为止写系统的方式，而水平符号对树木更友好。无论如何，我们总是用粗体字母书写向量，以区别于标量。以行向量形式书写，捕食者-猎物向量场表示为
$$V(R,F)=(2R-1.2RF,-F+0.9RF),$$
而 $V(2,1)=(1.6,0.8).$

在之前的计算中，点 $(R,F)=(2,1)$ 并没有特别之处。类似地，我们有 $V(1,1)=(0.8,-0.1)$，$V(0.5,2.2)=(-0.32,-1.21)$，等等。函数 $V(R,F)$ 可以在 $RF$ 平面上的任何点进行评估。

使用向量使我们可以大大简化符号。我们现在可以非常简洁地写出捕食者-猎物系统为
$$\frac{dP}{dt}=V(P).$$

向量符号不仅仅是一种节省墨水的方式。它还为我们提供了一种新的思考和可视化微分方程组的方法。我们可以通过将向量 $V(P)$ 附加到平面上对应的点 $P$ 来绘制向量场 $V$。计算 $V(P)$ 对于许多不同的 $P$ 的值，并仔细绘制这些向量在平面上，是人类的繁琐工作，但正是计算机和计算器擅长的工作。图 2.17 显示了捕食者-猎物向量场 $V$ 的几个向量。一般来说，我们将这个向量场可视化为一个“场”中的箭头，每个箭头以 $RF$ 平面上的每个点为基点。

简谐振荡器的向量场

在第 2.1 节中，我们通过一个二阶微分方程来建模无阻尼质量-弹簧系统的运动，其形式为
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{k}{m}y=0,$$
其中 $k$ 是弹簧常数，$m$ 是质量。我们还看到，这个质量-弹簧系统可以写成一阶系统
$$\{\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dt}=v,\\ & \frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}y,\end{array}$$

其中 $v=\frac{dy}{dt}$ 是质量的速度。特别地，当 $k/m=1$ 时，我们得到了一个特别简单的系统
$$\{\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dt}=v,\\ & \frac{dv}{dt}=-y,\end{array}$$

这个系统特别好的原因之一是其向量场 $F(y,v)=(v,-y)$ 在 $yv$ 平面中相对容易理解。在绘制了一些向量之后，自然会产生一个问题：这些向量是否都切向于以原点为中心的圆？实际上，它们确实是这样的（见图 2.18 和练习 20）。

尽管计算机可以将绘制向量场的繁琐过程自动化，但向量场有一个使其比斜率场更难绘制的方面。按照定义，向量场中的向量长度各不相同，由方程组决定。一些向量可能非常短，而其他一些向量可能非常长。因此，如果我们通过在平面上的规则网格上评估向量场来绘制图像，我们经常会得到重叠的向量。例如，图 2.19 是简单谐振荡器的向量场 $F(y,v)=(v,-y)$ 的绘图。在不进行过多点的绘制之前，我们可能就会得到一个基本上无用的图像。

为了避免向量场图像中向量重叠的困惑，我们通常将向量缩放到相同的（短）长度。结果的图像称为与原始向量场相关的方向场。图 2.20 显示了与简单谐振荡器的向量场 $F(y,v)=(v,-y)$ 相关的方向场的绘图。

方向场与向量场

虽然方向场提供的图像比向量场更容易可视化，但确实有一些信息丢失。在向量场中，向量的长度表示解在通过平面中相应点时的速度。而在方向场中，所有关于解速度的信息都丢失了。尽管如此，由于方向场在视觉上的优势，我们通常愿意接受这种信息丢失。

系统和向量场的示例

一般来说，对于一个形式为
$$\frac{dx}{dt}=f(x,y)$$
$$\frac{dy}{dt}=g(x,y),$$
的系统，我们引入向量 $Y(t)=(x(t),y(t))$ 和向量场
$$F(Y)=F(x,y)=(f(x,y),g(x,y)).$$
使用这种记号，这个两方程的系统可以以紧凑的形式写为
$$\frac{dY}{dt}=\left(\begin{array}{c}\frac{dx}{dt}\\ \frac{dy}{dt}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f(x,y)\\ g(x,y)\end{array}\right)=F(Y),$$
或者更经济地写为
$$\frac{dY}{dt}=F(Y).$$

基本（但重要的）示例

1. 示例系统

$$\frac{dx}{dt}=x$$
$$\frac{dy}{dt}=y$$

这个系统产生了向量场 $F(x,y)=(x,y)$，向量场中的向量总是直接指向远离原点的方向（见图 2.21）。

2. 示例系统

$$\frac{dx}{dt}=-x$$
$$\frac{dy}{dt}=-y$$

这个系统产生了向量场 $G(x,y)=(-x,-y)$，向量场中的向量总是指向原点（见图 2.22）。

向量场和方向场的几何意义

考虑系统
$$\frac{dx}{dt}=-x$$
$$\frac{dy}{dt}=-2y$$
产生了向量场 $H(x,y)=(-x,-2y)$，该向量场（或多或少地）指向原点（见图 2.23）。我们将很快看到，训练有素的眼睛可以区分向量场 $G(x,y)$（见图 2.22）和向量场 $H(x,y)$（见图 2.23）之间的重要差异。

解的几何图像

我们可以将向量场或方向场的图像视为微分方程系统的图像，并利用这个图像来绘制系统的解曲线。更准确地说，考虑一个形式为
$$\frac{dx}{dt}=f(x,y)$$
$$\frac{dy}{dt}=g(x,y)$$
的系统。正如我们所看到的，这个系统生成了向量场 $F(x,y)=(f(x,y),g(x,y))$。令 $Y(t)=(x(t),y(t))$，该系统可以用向量方程写成
$$\frac{dY}{dt}=F(Y).$$

从几何角度解释这个向量方程是理解这个微分方程系统几何意义的关键。如果我们将解 $Y(t)=(x(t),y(t))$ 视为 $x$-$y$ 平面中一条曲线的参数化，那么 $\frac{dY}{dt}$ 就表示该曲线的切向量。因此，方程 $\frac{dY}{dt}=F(Y)$ 表示解曲线的切向量由向量场中的向量给出。

### 从向量场到解曲线的几何解释

这种几何解释的一个后果是，我们可以直接从向量场 $F$（或其方向场）绘制出方程
$$\frac{dY}{dt}=F(Y)$$
的解曲线，而无需知道 $F$ 的具体公式（见图 2.24 和 2.25）。

停车场的隐喻

为了帮助从这种视角可视化系统的解曲线，想象一个无限大、完全平坦的停车场。在停车场的每一点上，地面上都画有一个箭头。这些箭头来自于向量场 $F(Y)$。当你在停车场里驾驶时，你的指示是要观察地面的箭头，并使你的速度向量始终与地上的箭头一致。（想象你是一名在封闭停车场中的专业司机。）你根据箭头的方向调整方向，使汽车沿着箭头的方向行驶，并且按箭头的长度调整速度。当你移动时，窗外的箭头会改变，因此你必须相应地调整汽车的速度和方向。你沿着的路径就是系统的解曲线。事实上，正如你将很快看到的，你可以仅仅使用这种对向量场的解释来绘制系统的解曲线。（做这些练习时请勿发短信。）

简谐振子的解曲线

例如，在第 2.1 节中，我们看到函数 $y(t)=\cos t$ 和 $v(t)=-\sin t$ 满足简谐振子系统
$$\frac{dy}{dt}=v$$
$$\frac{dv}{dt}=-y.$$

由于 $y^2+v^2=1$，我们知道向量值函数
$$Y(t)=(y(t),v(t))=(\cos t,-\sin t)$$
在 $y$-$v$ 平面上沿着单位圆以顺时针方向扫过。正如图 2.26 所示，这种运动的速度向量与向量场 $F(y,v)=(v,-y)$ 中的向量完全一致。

捕食者-猎物系统的解曲线

在第 2.1 节中，我们绘制了系统
$$\frac{dR}{dt}=2R-1.2RF$$
$$\frac{dF}{dt}=-F+0.9RF$$
的解曲线，对应初始条件 $(R_0,F_0)=(1,0.5)$。在图 2.27 中，我们可以看到解曲线与捕食者-猎物系统中向量场的向量之间的关系。

平衡解

正如在相位线上的特殊点——平衡点一样，系统的相位平面中也有一些特殊的点。这些点也对应于常数解。

定义: 如果 $F(Y_0)=0$，那么点 $Y_0$ 是系统 $dY/dt=F(Y)$ 的平衡点。常数函数 $Y(t)=Y_0$ 是平衡解。

平衡点只是系统右侧为零的点。如果 $Y_0$ 是一个平衡点，那么常数函数
$$Y(t)=Y_0\text{ for all }t$$
是系统的一个解。验证这个说法的方法是，常数函数对所有 $t$ 都有 $dY/dt=(0,0)$。另一方面，平衡点处 $F(Y(t))=F(Y_0)=(0,0)$。因此，向量场中的平衡点对应于常数解。

计算平衡点

系统
$$\frac{dx}{dt}=3x+y$$
$$\frac{dy}{dt}=x-y$$
只有一个平衡点，即原点 $(0,0)$。要查看原因，我们同时解这两个方程：
$$\{\begin{array}{l}3x+y=0\\ x-y=0\end{array}$$
这两个方程是系统右侧的给定方程。（将第一个方程加到第二个方程中，得到 $x=0$，然后用任一方程得出 $y=0$。）如果我们查看这个系统的向量场，我们会看到靠近原点的向量相对较短（见图 2.28）。因此，解曲线在经过原点附近时移动较慢。虽然方向场中的所有非零向量定义上都是相同的长度，我们仍然可以判断原点 $(0,0)$ 处必须存在平衡点，因为方向场中向量的方向在原点附近发生了急剧变化（见图 2.29）。

当溶液在平衡点附近通过时，$dx/dt$ 和 $dy/dt$ 都接近于零。因此，$x(t)$- 和 $y(t)$- 图在相应的时间间隔内几乎是平的 (见图2.30)。

两个竞争物种的种群模型

为了说明本节介绍的所有概念，我们以分析以下系统作为结尾：
$$\frac{dx}{dt}=2x\left(1-\frac{x}{2}\right)-xy$$
$$\frac{dy}{dt}=3y\left(1-\frac{y}{3}\right)-2xy$$
我们将 $x$ 和 $y$ 视为竞争同一资源的两种物种的种群。注意，如果没有其他因素的干扰，每种物种会根据逻辑斯蒂增长模型自行演化。两种物种之间的相互作用通过两个方程中的 $xy$ 项来建模。例如，$y$ 种群对 $x$ 的变化率的影响由 $\frac{dx}{dt}$ 方程中的项 $-xy$ 决定。这个项是负的，因为我们假设这两种物种竞争资源。同样，项 $-2xy$ 决定了 $x$ 种群对 $y$ 变化率的影响。由于 $x$ 和 $y$ 代表种群，我们将注意力集中在初始条件位于第一象限的解上。

计算平衡点

首先，通过将微分方程的右侧设为零来找到平衡点，并求解 $x$ 和 $y$，得到以下方程组：
$$\{\begin{array}{l}2x\left(1-\frac{x}{2}\right)-xy=0\\ 3y\left(1-\frac{y}{3}\right)-2xy=0\end{array}$$
这些方程可以重写为：
$$\{\begin{array}{l}x\left(2-x-y\right)=0\\ y\left(3-y-2x\right)=0\end{array}$$
第一个方程满足 $x=0$ 或 $2-x-y=0$，第二个方程满足 $y=0$ 或 $3-y-2x=0$。首先，假设 $x=0$。则 $y=0$ 的方程得到原点的平衡点，而 $3-y-2x=0$ 的方程得到平衡点 $(0,3)$。现在假设 $2-x-y=0$。则 $y=0$ 的方程得到平衡点 $(2,0)$，而 $3-y-2x=0$ 的方程得到平衡点 $(1,1)$。（同时解方程 $2-x-y=0$ 和 $3-y-2x=0$。）因此，平衡点为 $(0,0)$、$(0,3)$、$(2,0)$ 和 $(1,1)$。

绘制相图

接下来，我们使用方向场来绘制解曲线。为了得到一个好的相图，我们必须选择足够的解以看到所有不同类型的解曲线，但又不能选择太多的曲线，以免图像变得混乱（见图 2.31）。建议使用计算机或计算器来绘制草图，在第 2.5 节中，我们将推广欧拉法来数值近似解曲线。注意，这个竞争物种模型的相图表明，对于大多数初始条件，某种物种会消失，幸存的种群将稳定下来。

就像我们在第 1 章开始绘制斜率场和解的图形时所做的那样，我们应该停下来思考这些草图是否代表了解的真实行为。例如，我们如何知道相平面中的不同解曲线不会交叉或触碰？正如第 1 章所述，答案来自一个关于解唯一性的强大定理。我们将在第 2.5 节中研究这个定理，但在此之前，你应该假设，如果微分方程足够光滑，那么不同的解曲线不会交叉或触碰。

$x(t)$ 和 $y(t)$ 图

正如我们在第 2.1 节中看到的，相图只是可视化微分方程系统解的一种方式。通过在相平面中研究解曲线，并不能看到关于特定解的所有信息。特别是，当我们在相平面中观察解曲线时，我们看不到时间变量，因此不知道解沿曲线移动的速度。获取时间变量信息的一种方法是观看计算机实时绘制解曲线。另一种方法是查看其 $x(t)$ 和 $y(t)$ 图。

在图 2.32 中，我们可以看到竞争物种模型两个解的 $x(t)$ 和 $y(t)$ 图。对于左边图形对应的初始条件，$x$ 种群在 $t=15$ 之前不会消失，但对于右边图形对应的初始条件，$y$ 种群在 $t=8$ 后基本上已经灭绝。

尽管解曲线和 $x(t)$ 及 $y(t)$ 图显示了关于解的不同信息，但能够将这两种不同的表示方式联系起来是很重要的。这些特定初始条件下的两个解曲线如图 2.33 所示。从右侧初始条件对应的解曲线中，我们可以得出结论：该解趋近于平衡点 $(2,0)$。特别是，对于这个初始条件，$y$ 种群变得灭绝。左侧初始条件的解则趋近于平衡点 $(0,3)$，因此 $x$ 种群将趋向稳定。

解的长期行为

对于左边图形对应的初始条件，我们观察到 $x$ 种群最终灭绝。我们在绘制 $x(t)$ 和 $y(t)$ 图时也观察到了相同的长期行为（见图 2.32）。

在相平面中，我们还注意到左边初始条件对应的解曲线穿过了直线 $y=x$。换句话说，从相平面中的解曲线，我们可以从相图中看到，在某个时刻 $t$，两个种群的数量是相等的。然而，要确定这个特定的时刻，我们必须参考对应的 $x(t)$ 和 $y(t)$ 图。同样，对于另一个初始条件，我们知道 $x$ 种群的数量始终大于 $y$ 种群的数量。

定量分析

在迄今为止考虑的所有系统中，右侧的方程中没有出现自变量。正如我们在第1.6节中所提到的，这种属性的系统被称为自守系统（autonomous）。自守系统的“自守”意味着它是自我管理的，因为它的演化完全由依赖变量的值决定。一个重要的几何后果是，自守系统相关的向量场仅依赖于依赖变量，而不显式地依赖于自变量的值。因此，我们在绘制向量场、方向场、解曲线或相位图时，无需考虑自变量。

尽管我们将在本章剩余部分以及第3章中继续关注自守系统，但许多重要系统是非自守的。我们将在第4章首次遇到非自守系统。在本章接下来的部分中，我们将结合几何方法、解析方法和数值方法来补充本节介绍的几何方法。