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Part 1 背包DP

1.1 01背包

1.1.1 题意解释

你有一个容量为 $n$ 的背包，一共有 $m$ 种物品，每个物品都有一个权值 $v_i$ 和体积 $w_i$，在不超过背包容量的前提下，尽可能装权值最多的东西

1.1.2 为什么不使用贪心

考虑到本题，没学过DP的人可能会用以下两种贪心：

1. 装权值越大的东西：（错误）

$i$	1	2	3
$v_i$	4	3	2
$w_i$	70	69	1

对于上面这一组数据，当 $n=70$ 时如果我们使用这样的贪心策略，会优先选择体积为 $70$，权值为 $4$ 的物品，但明显的，选择另外两个会更优。

2. 计算平均值，在许可范围内选择平均值最大的

$i$	1	2	3
$v_i$	150	100	100
$w_i$	100	75	74
$\frac{v_i}{w_i}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{50}{37}$

明显的，对于上述样例，这种方法依然得不到正确答案。

1.1.3 该如何进行 01DP

我们设 $d{p}_{i,j}$ 表示当前取到了第 $i$ 个物品， 还剩 $j$ 点容量时的最大值，那么我们即可得到一个转移方程:

$d{p}_{i,j}=max(d{p}_{i-1,j-w_i}+v_i,d{p}_{i-1,j});$

换一句话说，这就表示“把第 $i$ 个，第 $i+1$个，…，$n$个物品装到容量为 $j$ 的背包中的最大权值”。

那么我们根据以上转移方程就可以得到以下代码：

 for(int i=1;i<=m;i++) {
        for(int j=t;j>=0;j--)  {
            if(j>=w[i])
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i],dp[i-1][j]); 
            else
                dp[i][j]=dp[i-1][j];           
        }
 }

明显的，答案就是 $d{p}_{m,n}$。

1.1.4 推荐例题

P1048 [NOIP2005 普及组] 采药
P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题
P2871 [USACO07DEC] Charm Bracelet S
P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明
P1164 小A点菜

1.1.5 优化方式

对于 01背包，因为 DP 的无后效性，所以我们可以考虑用滚动数组进行优化，那么这个转移方程就变成了：

$f_j=max(f_j,f_j-v_i+w_i)$

这样就可以省下大幅的空间。
注意：使用滚动数组时要倒序遍历

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1.2完全背包

1.2.1 题意解释

• 完全背包与 01背包类似，只不过每个物品可以选择无限多次。

1.2.2 如何进行状态转移

因此我们考虑任然使用 01 背包的状态设计，但明显的是，01背包的状态转移已经不适用于完全背包。
我们发现，对于 $d{p}_{i,j}$，只要从 $d{p}_{i,j-w_i}$转移即可，这样满足了DP的无后效性，那么我们可以得到以下的状态转移公式：

$d{p}_{i,j}=max(d{p}_{i-1,j-w_i}+v_i,d{p}_{i-1,j});$

同样的，完全背包也可以像 01背包一样压缩掉一维，优化空间复杂度，同时，在压缩之后的转移顺序为正序，由此我们可以得到以下代码：

 for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int l = w[i]; l <= m; l++)
      if (f[l - w[i]] + v[i] > f[l]) f[l] = f[l - w[i]] + v[i];

1.2.3 推荐例题

P1616 疯狂的采药
P2722 [USACO3.1] 总分 Score Inflation
P1679 神奇的四次方数
P1832 A+B Problem（再升级）

Part 2 区间DP

2.1典例引入

• 给定长度为 $n$ 的序列 $a$，每次可以将其中连续的一段回文子段删去，删去后左右两段将合并，问最少用几次操作可以消除整个区间

1. 经观察发现，每个时刻消去的位置总是一个连续的区间。
2. 因此我们考虑消去区间 $[i,j]$ 时：

• 若 $a_i$ 和 $a_j$ 不在一起消去，那我们总是可以找到一个分界点 $k$ ，使得区间 $[i,k]$ 和区间 $[k+1,j]$ 可以分别消去。
• 若 $a_i$ 和 $a_j$，那他们只需要接在 $[i+1,j-1]$ 这段区间后一起消去即可

3. 那我们用 $f_{i,j}$ 表示消去这段区间需要的最少次数，那我们可以得到以下转移方程：

• $$\{\begin{array}{ll}{f}_{i,j}=min(f_{i,k}+f_{k+1,j}|i\le k<j)& a_i\ne a_j\\ f_{i,j}=min(min(f_{i,k}+f_{k+1,j}|i\le k<j),f_{i,j},f_{i+1,j-1})& a_i=a_j\end{array}$$

4. 我们发现，这种状态转移是以区间为基础的，这种DP通常称作区间DP
5. 区间DP的解法一般固定，一般是枚举区间长度，然后枚举左端点，最后枚举区间断点。时间复杂度为 $o(n^3)$。

2.2 基本概念

1. 合并：将两个及以上的区间通过一定方式进行整合，也可以反过来操作。
2. 特征：能将问题分解成两两合并的形式。
3. 求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解成左右两部分，最后合并两部分的最优解得到原问题的最优解，有点类似于分治的思想。

2.3 例题分析

本处采用石子合并作为例题分析。

2.3.1 题意解释

• 有 $n$ 个石子沿着一个环分布，现在要将石子有次序的合成一堆。
• 规定每次只能选择相邻的石子，并将新的一堆的石子数计为该次合并的得分
• 要求得到两种合并策略，使得最后的得分最大和最小
• $1\le n\le 200$

2.3.2 环的处理

考虑到题目中出现了环，那么我们该如何处理呢？
我们可以将链延长两倍，扩展成 $2\times n-1$堆，其中第 $i$ 堆与第 $n+i$堆完全相同，然后我们再转以后分别枚举 $d{p}_{i,n},d{p}_{2,n+1},...,d{p}_{n,2n-1}$，并取其中的最大值即可。
时间复杂度是 $O(8n^3)$ 符合本题的要求，一般是区间DP出现环时最好的处理方法

2.3.3 题目思路

1. 考虑到如果第 $l$ 和第 $r$ 堆石子被合并，那么 $[l,r]$ 之间的石子应当也被合并，所以我们可以在任何时刻用 $[l,r]$ 这一个区间来表示任意一堆石子，代表他们是由 $[l,r]$之间的石子所合并来的。
2. 同时也存在一个 $k$，使得$[l,k]$和$[k+1,r]$之间的石子能分别被合并。
3. 那么我们就可以用 $f_{i,j}$ 表示从第 $i$ 堆石子合并到第 $j$ 堆石子的最大（最小）值，通过对左右端点对区间的表示，我们可以得到以下转移方程（以最大值为例）：

• $f_{i,j}=max(f_{i,k}+f_{k+1,j}+su{m}_j-su{m}_{i-1}|i\le k\le j-1)$

在此处 $su{m}_i$ 表示从第 $1$ 堆石子到第 $i$ 堆石子数的总和。

2.3.4 主要代码

for(int p=1;p<n;p++) {  
        for(int i=1,j=i+p;(j<n+n) && (i<n+n);i++,j=i+p)  {  
            f2[i][j] = 999999999;  
            for(int k=i;k<j;k++)  {  
                f1[i][j] = max(f1[i][j], f1[i][k]+f1[k+1][j]+d(i,j));   
                f2[i][j] = min(f2[i][j], f2[i][k]+f2[k+1][j]+d(i,j));  
            }  
        }  
    }  

2.4 推荐例题

P1063 [NOIP2006 提高组] 能量项链
P3146 [USACO16OPEN] 248 G
P4767 [IOI2000] 邮局 加强版