题目描述

在一个二维平面内，给定 $n$ 个整数点 $(x_i,y_i)$，此外你还可以自由添加 $k$ 个整数点。

你在自由添加 $k$ 个点后，还需要从 $n+k$ 个点中选出若干个整数点并组成一个序列，使得序列中任意相邻两点间的欧几里得距离恰好为 $1$ 而且横坐标、纵坐标值均单调不减，即 $x_{i+1}-x_i=1,y_{i+1}=y_i$ 或 $y_{i+1}-y_i=1,x_{i+1}=x_i$。请给出满足条件的序列的最大长度。

【数据范围】

保证对于所有数据满足：$1\le n\le 500$，$0\le k\le 100$。对于所有给定的整点，其横纵坐标 $1\le x_i,y_i\le {10}^9$，且保证所有给定的点互不重合。对于自由添加的整点，其横纵坐标不受限制。

思路

考虑动态规划，记 $d{p}_{i,j}$ 表示以第 $i$ 个点为结尾，已经插入 $j$ 个自由点的最长长度。

首先将点对按照 $x,y$ 大小排个序，确保转移时横纵坐标比当前节点小的点对都在它前面，否则无法转移。

容易发现，$d{p}_{i,j}={\max }_{l=1}^{i-1}d{p}_{l,j-dis(i,l)+1}+dis(i,l)+1,(y_i\ge y_l,j-dis(i,l)+1\ge 0)$,$d{p}_{i,j}$ 初始值赋值为 $j+1$（全部用在它前面）。

解释：因为两个点中间因插入的点对数量等于它们欧几里得距离减去一（因为头尾都已经有了），文中 $dis(i,l)$ 表示的就是两者的欧几里得距离剪去 $1$。计算方式如下：

int dis(int a,int b) {
	return abs(edge[a].x - edge[b].x) + abs(edge[a].y - edge[b].y) - 1;
}

最后输出的答案就是 $ans$ 就是 $d{p}_{i,j}+(k-j)$ 的最大值（加上 $k-j$ 代表剩下所有没用完的直接加在该点后面）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,k;
struct node{
	int x,y;
	friend bool operator <(node a,node b) {
		if(a.x == b.x) return a.y < b.y;
		return a.x < b.x; 
	}
}edge[505];
int dp[505][105],ans = -1e18;
int dis(int a,int b) {
	return abs(edge[a].x - edge[b].x) + abs(edge[a].y - edge[b].y) - 1;
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld",&n,&k);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld%lld",&edge[i].x,&edge[i].y);
	sort(edge + 1,edge + n + 1);
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
		for(int j = 0;j <= k;j++) {
			dp[i][j] = j + 1;
			for(int l = 1;l < i;l++) {
				int d = dis(i,l);
				if(edge[l].y <= edge[i].y and d <= j) {
					dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[l][j - d] + d + 1);
				}
			}
			ans = max(ans,dp[i][j] + k - j);
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}