2. 数列极限

2.1 实数系的连续性

2.1.3 确界存在定理

【定理2.1.1】（确界存在定理——实数系连续性定理）非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。
【证】（写了一些我自己的理解，欢迎数院大神批评指正）$\forall x\in \mathbb{R},x=[x]+(x)$（"[]“向下取证，”()"非负小数部分），$(x)=0.a_1{a}_2...a_n...$，写成无限小数的表示
说明：（1）$(x)$为有限小数，则后面加一列0，就可以写成无限小数的表示（后面的0无限循环）；
（2）$0.a_1{a}_2...a_p\mathrm{000...},a_p\ne 0=0.a_1{a}_2...(a_p-1)\mathrm{999...}$（不用等式右边的方式（0.99999…=1），$a_p-1$相当于向第$p$位借了一个1），这样非负小数就可以唯一表示了。
设$\text{S}\subset \mathbb{R}$，非空，有上界， S = { a 0 + a 1 a 2 . . . a n . . . ∣ a 0 = [ x ] , a 1 a 2 . . . a n . . . = ( x ) , x ∈ S } \textbf{S}=\{a_{0}+a_{1}a_{2}...a_{n}...|a_{0}=[x],a_{1}a_{2}...a_{n}...=(x),x\in\textbf{S}\} S={a0​+a1​a2​...an​...∣a0​=[x],a1​a2​...an​...=(x),x∈S}
$\text{S}$有上界，取$\text{S}$中$a_0$的最大者记为${\alpha }_0$（如果所有的$a_0$当中找不到最大的，$\text{S}$不可能有上界）。
S 0 = { x ∣ x ∈ S 且 [ x ] = α 0 } \textbf{S}_{0}=\{x|x\in\textbf{S}且[x]=\alpha_{0}\} S0​={x∣x∈S且[x]=α0​}（将整数部分最大的都放入集合${\text{S}}_0$中），假如$x\in \text{S}$但是$x\notin {\text{S}}_0$则$x<{\alpha }_0$（如果$x$不在${\text{S}}_0$中，但是在$\text{S}$中，说明$x$的整数部分不是最大的，则$x$的值小于整数部分最大的整数${\alpha }_0$）
取${\text{S}}_0$中$x$的小数表示中第一位小数的最大者记为${\alpha }_1$， S 1 = { x ∈ S 0 , 且 x 的小数表示中第一位小数为 α 1 } \textbf{S}_{1}=\{x\in\textbf{S}_{0},且x的小数表示中第一位小数为\alpha_{1}\} S1​={x∈S0​,且x的小数表示中第一位小数为α1​}，假如$x\in \text{S}$但是$x\notin {\text{s}}_1$，则$x<{\alpha }_0+0.\alpha 1$（一位一位的比较大小下去）
接下来看第二位小数，第三位小数……
一般地，取${\text{S}}_{n-1}$（整数部分和前n-1位小数都是最大者的集合）中$x$的小数表示的第$n$位的最大者为${\alpha }_n$，则 S n = { x ∣ x ∈ S n − 1 且 x 小数表示中第 n 位为 α n } \textbf{S}_{n}=\{x|x\in\textbf{S}_{n-1}且x小数表示中第n位为\alpha_{n}\} Sn​={x∣x∈Sn−1​且x小数表示中第n位为αn​}，假如$x\in \text{S}$但是$x\notin {\text{S}}_n$，则$x<{\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n$
得到$\text{S}\supset {\text{S}}_0\supset {\text{S}}_1\supset {\text{S}}_2\supset ...\supset {\text{S}}_n\supset ...$
α 0 ∈ Z , α 1 , α 2 , . . . , α n , . . . ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , 9 } \alpha_{0}\in\mathbb{Z},\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha{n},...\in\{0,1,2,...,9\} α0​∈Z,α1​,α2​,...,αn,...∈{0,1,2,...,9}
令$\beta ={\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n...$
证$\beta$是$\text{S}$的上确界。
（1）证$\beta$是$\text{S}$的上界，$\forall x\in \text{S}$或者$\exists n_0$使得$x\notin {\text{S}}_{n_0}$或者$\forall n\in \mathbb{N},x\in {\text{S}}_n$（${\text{S}}_{n_0}$是整数位和小数前$n_0$位都取最大的集合，如果$x\notin {\text{S}}_{n_0}$，说明$x<a_0+0.a_1{a}_2...a_{n_0}$）
若$x\in \text{S}$且$x\notin {\text{S}}_{n_0}$则$x<a_0+0.a_1{a}_2...a_{n_0}\le \beta$（因为$\beta =a_0+0.a_1{a}_2...a_{n_0}...$，$a_{n_0}$后面还有位数，$x\notin {\text{S}}_{n_0}$说明$x$的第$n_0$位小数不是最大者，所以$x$要小于第$n_0$位小数是最大的情况，即$x<a_0+0.a_1{a}_2...a_{n_0}$）
若$\forall n\in \mathbb{N},x\in {\text{S}}_n$考虑$[x]$与$x$的每一位小数，$x\in {\text{S}}_0$说明$x$的整数部分是${\alpha }_0$，
$x\in {\text{S}}_1$说明$x$的第1位小数是${\alpha }_1$
…
$x\in {\text{S}}_n$说明$x$的第$n$位小数是${\alpha }_n$
则此时$x={\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_n...=\beta$
综上，$x\le \beta$，所以$\beta$是$\text{S}$的上界，这两种情况实际上是有限小数和无限小数的情况的讨论，有限位和无限位的区分点在第$n_0$位。
（2）证$\beta$是$\text{S}$的最小上界
$\forall \xi >0$（任意是随便取的，但是取了就取定了），证明$\beta -\xi$不是上界，取$n_0\in \mathbb{Z}$，使得$0<\frac{1}{10^{n_0}}<\xi$（有目的取的），取$x\in {\text{S}}_{n_0}$，$x$的整数部分就是${\alpha }_0$，小数部分前$n_0$位小数为${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_{n_0}$
$\beta -x\le \frac{1}{10^{n_0}}<\xi$（前$n$位小数都一样，二者相减后，只有在第$n_0$位小数后面才有数字，即$\mathrm{0.000...0...}(前n_0位有n_0个0)$，也就是相减的结果肯定比第$n_0$位上有数，前$n_0-1$位上全是0，也即$\mathrm{0.00....0}{n}_0...$这样的小数小，即$\mathrm{0.000...0...}(前n_0位有n_0个0)<\mathrm{0.00....0}{n}_0...$，如果$x$的第$n_0$位是0，那么就会取得等号，所以有$\mathrm{0.000...0...}(前n_0位有n_0个0)\le \mathrm{0.00....0}{n}_0...$）
所以$x>\beta -\xi$
所以$\beta$是$\text{S}$的最小上界。
故$\beta$是$\text{S}$的上确界
【注：假如实数集合的数轴上有“空隙”（即某点既不是有理数也不是无理数），在实数范围内找确界，“空隙”左边的集合没有上确界（因为有既不是有理数也不是无理数的“空隙”比左边区间的元素大），“空隙”右边的集合没有下确界，确界存在定理反映了实数的连续性】


【例2.1.3】 T = { x ∣ x ∈ Q , 且 x > 0 , x 2 < 2 } \textbf{T}=\{x|x\in\mathbb{Q},且x>0,x^{2}<2\} T={x∣x∈Q,且x>0,x2<2}，则$\text{T}$在$\mathbb{Q}$内没有上确界。
【证】反证法，假设$\text{T}$在有理数集合内有上确界，记$\sup \text{T}=\frac{n}{m},m,n\in {\mathbb{N}}^{+}$且$m,n$互质。
由于$(1.4{)}^2<2,1.4\in \text{T}$，则$1<(1.4{)}^2<(\frac{n}{m}{)}^2$（集合中的元素比上确界小）
又由于$(1.5{)}^2>2$，则$1.5$是$\text{T}$的一个上界（大于号说明是上界，但是不知道是不是上确界，所以用小于等于号），所以$(\frac{n}{m}{)}^2\le (1.5{)}^2<3$
$(\frac{n}{m}{)}^2\ne 2$，因为在有理数集合中没有一个数的平方为2，则把这个不成立的情况去掉，讨论下面两段成立的情况：
（1）$1<(\frac{n}{m}{)}^2<2$，证$\frac{n}{m}$不是上界，找一个$r>0,r\in \mathbb{R}$，使得$\frac{n}{m}+r\in \text{T}$，且$\frac{n}{m}+r>\frac{n}{m}$，说明$\frac{n}{m}$不是上界
（2）$2<(\frac{n}{m}{)}^2<3$，证$\frac{n}{m}$不是最小上界，也是要找一个$r>0,r\in \mathbb{R}$，使得$\frac{n}{m}-r\in \text{T}$是上界，即找一个更小的上界。
自己看书写了一下，这块确实难理解，证明构造也很巧妙。