数学建模预测类—【一元线性回归】

news2024/9/24 3:27:44

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前言

一、什么是回归分析？

1.概念理解

2.分类和一般步骤

二、一元线性回归（Matlab算法）

1.利用regress函数

2、例题讲解

总结

前言

在具体讲述线性回归的有关算法和解题思路时，我们会先讲一些有关回归分析的基础（建议大家可以看一下，理解一下原理）已经懂了的友友可以直接跳过~😏🙌

一、什么是回归分析？

1.概念理解

在统计学中，回归分析（regression analysis)指的是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关
系的一种统计分析方法。

在大数据分析中，回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。

总而言之，回归分析通常用于预测分析以及发现变量之间的因果关系（通俗来讲就是🤔：根据已有数据验证自变量和因变量之间的某种函数关系是正确的）

2.分类和一般步骤

回归分析有两种分类方式：

 根据变量的数目可以分为一元回归、多元回归
 根据自变量与因变量的表现形式，分为线性和非线性

根据排列组合（2X2）也就是回归分析包括四个方向：

①一元线性回归分析、②多元线性回归分析、③一元非线性回归分析、④多元非线性回归分析

回归分析的一般步骤

简要总结一下这张图就是：找到自变量（x)和因变量(y)建立回归方程，然后验证方程的可行性，最后再根据回归方程进行预测.下面我们用一元线性回归方程的例子具体讲一下整个过程

问题：人均收入是否会显著影响人均食品消费支出？

确定解释变量（x）和被解释变量（y）

已知人均收入——x，人均食品消费支出——y

确定回归模型建立回归方程

根据我们的常识我们可知，人均收入应该是和人均食品消费成正比，这里只涉及一个自变量，则一元线性回归模型可表示为：
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1x + 𝜖（误差）

（😶‍🌫️这里如何求相应的参数后面我们会细讲，这里就是了解一下流程~🫡）

检验（不同的回归模型检验方法不同，这里就提一些会用到的指标）

我们通常使用以下几个标准来度量回归方程的可靠性（我们只要会用即可）：

估计标准误差越小，则数据点围绕回归直线的分散程度越小，回归方程的代表性越大，可靠性越高
置信区间反映了参数估计的不确定性，如果一个参数的置信区间不包含零（对于斜率参数），则可以认为该参数对因变量有显著的影响。
而预测区间反映了预测值的不确定性，可以告诉我们预测值的可信度范围。
判定系数（R^2）:R^2越趋近于1，我们方程的拟合程度越好
线性关系检验：计算检验统计量F，若𝐹 > 𝐹1−𝛼(1, 𝑛 − 2)（查表可得），拒绝𝐻0，否则接受𝐻0；（𝐻0（原假设）：𝛽1 = 0，回归系数与0无显著差异，𝑦与x的线性关系不显著），所以拒绝H0说明y与x存在线性关系
回归系数的显著性检验：检验回归系数𝛽的值与0是否有显著性差异，若𝛽 ≠ 0，说明变量𝑌与𝑋之间存在显著的线性关系
通过构造t统计量并计算p值，如果p值小于预设的显著性水平（例如0.05），则认为参数是显著的。

预测

将所求回归方程和参数代入求解即可

二、一元线性回归（Matlab算法）

1.利用regress函数

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1x + 𝜖（误差）（一元线性回归方程模型）

$\left [ b,bint,r,rint,stats \right ] = regress\left ( Y,X,alpha \right )$

1、输入变量：这里Y，X都是由样本数据构成的列向量；alpha——显著性水平，默认为0.05 ，一般不需要我们输入

2、输出变量：
𝑏— — 回归系数（β0，β1，···）
𝑏𝑖n𝑡— — 回归系数的区间估计
𝑟— — 残差
𝑟𝑖n𝑡— — 置信区间
stats— — 用于检验回归模型的统计量
stats有四个数值：决定系数R^2、𝐹值、与𝐹对应的概率𝑃、无偏估计𝜎^2

2、例题讲解

让我们预测身高为170的女生腿长可能为多少呢？

%一元线性回归
clear,clc
%1.输入数据
%输入X的样本值
x = [143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]';
%插入β0对应列
X = [ones(16,1),x];
%输入Y的样本值
Y = [88,85,88,91,92,93,93,95,96,98,97,96,98,99,100,102]';

%2、回归分析及检验：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);
%输出我们需要的数据
%  β0=-16.0730，置信区间为[-33.7071,1.5612]
%  β1=0.7194,置信区间为[0.6047,0.8340]
%  R^2=0.9282  F=180.9531   p=0.0000    1.7437
%p就是接受回归模型的风险，即犯错的概率
% 由p<0.05,可知回归模型y=-16.0730+0.7194x 成立


%3、残差分析，作残差图
figure
rcoplot(r,rint);
%第二个值可视为异常值


%4、预测及作图
figure
y = b(1)+b(2)*x;
%比较真实值与估计值所作图像
plot(x,Y,'b+',x,y,'r');

这里我们作图后的图像大致为