文章目录
- AVL树的概念
- AVL树节点
- AVL树的插入
- AVL树的旋转
- 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
- 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
- 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
- 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
- AVL树的验证
- AVL树性能
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年
发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)
AVL树节点
与搜索二叉树不同的是，这里需要三个节点，多一个父亲节点，为了我们后面对平衡因子进行调整。
template<class K, class V>
struct AVLreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
,_parent(nullptr)
, _kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
AVL树的插入
- 按照搜索树的原则插入
- 更新插入节点的祖先节点的平衡因子
a、插入在父亲的左边，父亲的平衡因子--
b、插入在父亲的右边，父亲的平衡因子++
c、父亲的平衡因子等于0，父亲所在的子树高度不变，不再往上更新，插入结束
d、父亲的平衡因子等于1或者-1，父亲所在的子树的高度变了，继续往上更新
e、父亲的平衡因子等于2或者-2，父亲所在的子树已经不平衡，需要旋转处理
注意：更新中不可能出现其他值，插入前这个数是AVL树，平衡因子是1，-1，0，进行++或者--时只可能是上述cde三种情况。
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else return false;
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//需要旋转
break;
}
else
{
//理论而言不可能出现的情况
assert(false);
}
}
return true;
}
AVL树的旋转
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点，如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。
右旋的条件：
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
void RotateR(Node* parent)
{
//subL 是 parent 节点的左子节点，subLR 是 subL 的右子节点。
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
//将 parent 的左子节点指向 subLR。如果 subLR 存在，更新 subLR 的父节点为 parent
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
//将 subL 的右子节点设置为 parent，完成旋转的主要操作
subL->_right = parent;
//记录 parent 的父节点 ppNode，然后将 parent 的父节点更新为 subL
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
//如果 parent 是树的根节点，则将树的根节点更新为 subL，并将 subL 的父节点设为 nullptr
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
//如果 parent 不是根节点，则更新 ppNode 的子节点指针，指向 subL，并将 subL 的父节点设为 ppNode。
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
和右旋需要考虑的问题一致，只不过旋转的方式不一样。
左旋的条件：
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_right == parent)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
条件：
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
条件：
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
}
AVL树的验证
封装一个计算树的高度函数：
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}
判断是否是平衡二叉树：只需要计算左右子树高度差是否小于等于1即可：
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
//不平衡
if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
{
return false;
}
//检查平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
}
AVL树性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
