题意

给定一个 $n(1\le n\le 18)$，表示一个操作数序列，$1,2,\dots ,n$（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作，

• 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
• 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

下图为当 $n=3$ 时一种合法的解（即 2 3 1）

你的程序将对给定的 $n$，计算并输出由操作数序列 $1,2,\dots ,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

思路

考虑 $d{p}_{i,j}$ 表示当前已经用了 $i$ 次进栈操作和 $j(1\le j\le i)$ 次操作的方案数，则当前方案可能由两种方案推来：

• 当前进行的是进栈操作，则 $d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i-1,j}$，无须担心 $i=j$时会不会有问题，因为当 $i=j$ 时 $i-1<j$，因此 $d{p}_{i-1,j}$ 等于初始值，即为 $0$。
• 进行的是出栈操作，则 $d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i,j-1}$。

综上所述，$d{p}_{i,j}\leftarrow d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i,j-1},1\le j\le i$

考虑边界条件，对于进栈次数为 $i$ 并且从未出栈，则方案数肯定为 $1$，$d{p}_{i,0}=1$。

答案显而易见为 $d{p}_{n,n}$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,dp[20][20]; 
signed main() {
	scanf("%lld",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++) dp[i][0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
		for(int j = 1;j <= i;j++) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
		}
	}
	printf("%lld\n",dp[n][n]);
    return 0;
}