C++第三十六弹---二叉搜索树的性能飞跃：AVL树原理与实现

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1 AVL 树

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义

1.3 AVL树的插入

1.4 AVL树的旋转

1.5 AVL树的验证

1 AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

为什么保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，而不是高度差为0？

有些结点情况下，比如2/4，做不到平衡，因此退而求其次，左右的高度差不超过1。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
高度之差 == 右树高度 - 左树高度(博主实现AVL树以这个为标准)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在

O(log2 n)，搜索时间复杂度O(log2 n)。

1.2 AVL树节点的定义

AVL树的节点定义的成员变量：

存储值：每个节点存储的值。
左节点指针：指向当前节点的左节点的指针。
右节点指针：指向当前节点的右节点的指针。
双亲节点指针：指向当前节点的双亲节点的指针。根节点的双亲节点指针为空。
平衡因子：表示当前节点的右子树高度和左子树高度之差。平衡因子可以为-1、0或1。

AVL树节点的定义：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;// 左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;// 右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 双亲
	pair<K, V> _kv;

	int _bf;// balance factor 平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

AVL树基本结构的定义：

template<class K,class V>
class AVLTree
{
    // 重命名结点
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
    // 插入
	bool Insert(const pair<K,V>& kv);
    // 判平衡
	bool IsBalance()
    // 求高度
	int Height()
    // 求结点个数
	int Size()
    // 查找
	Node* Find(const K& key)
    // 中序遍历
	void InOrder()
private:
    // 结点成员
	Node* _root = nullptr;
};

1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

按照搜索树规则插入节点

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
    // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		// 插入值更大则插入到右边
		// .优先级高于->
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		// 小则在左边
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回false
		else
		{
			return false;
		}
	}
	// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置
	// key值大于父亲的值则在右侧
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
     // 链接双亲结点，搜索二叉树没有双亲结点
	cur->_parent = parent;
    //...
}

更新插入节点的平衡因子

cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

1. 如果cur插入到pParent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
2. 如果cur插入到pParent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2

1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
    // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
	// 更新平衡因子
	while (parent)// 最坏情况为空结束循环
	{
		// 插入父亲的左边，父亲的平衡因子--
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		// 插入父亲的右边，父亲的平衡因子++
		else
		{
			parent->_bf++;
		}

		// 判断父亲的平衡因子的情况

		// 平衡因子为0，树高度没变，不再更新
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		// 父亲的子树高度变了，需要继续更新平衡因子
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		// 父亲所在的子树高度不平衡，需要旋转处理
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			// 旋转
		}
		// 理论上不可能出现该情况
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

抽象图

具象图

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

2. 60可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

代码

// 右单旋 左边较高
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	// 更新parent
	parent->_left = subLR;
	// subLR不为空则更新父亲，subLR为30的右孩子
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	subL->_right = parent;//xxx

	// 提前存parent的父亲
	Node* ppNode = parent->_parent;
	parent->_parent = subL;

	// parent为根节点
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		// parent为ppNode的左结点
		if (parent == ppNode->_left)
		{
			ppNode->_left = subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subL;
		}

		subL->_parent = ppNode;
	}
	// 更新平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

1. 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在

2. 30可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

代码

// 左单旋 右边较高
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	// 更新parent
	parent->_right = subRL;
	// subRL不为空，subRL为60的左孩子
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	subR->_left = parent;
	// 提前存parent的父结点
	Node* ppNode = parent->_parent;
	parent->_parent = subR;

	// parent为根节点
	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		// 左
		if (parent == ppNode->_right)
		{
			ppNode->_right = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		subR->_parent = ppNode;
	}

	// 平衡因子
	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

抽象图

在 b 子树中插入

在 c 子树中插入

具象图

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

// 左右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	int bf = subLR->_bf;
	// 先对左孩子左单旋
	RotateL(parent->_left);
	// 再对parent右单旋
	RotateR(parent);

	if (bf == -1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

抽象图

在c 子树中插入

在 b 子树中插入

具象图

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况

	// 先对右孩子右单旋
	RotateR(parent->_right);
	// 再对自己左单旋
	RotateL(parent);

	if (bf == 1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

注意：双旋之后需要调节根据情况调节平衡因子，单旋之后平衡因子都为0。

总结：
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为SubR

当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为SubL

当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确

高度计算

int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	// 左右子树较高树的高度+1
	return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}

判断平衡

1.空树则满足平衡搜索二叉树

2.判断当前结点高度差的绝对值是否小于等于1

3.检查平衡因子是否正确

4.继续判断左子树与右子树

bool _IsBalance(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return true;
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);

	// 不平衡能直接返回结果
	if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
		return false;

	// 顺便检查一下平衡因子是否正确
	if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
	{
		cout << root->_kv.first << endl;
		return false;
	}

	return _IsBalance(root->_left)
		&& _IsBalance(root->_right);
}

1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

1.8 AVL树完整代码

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	int _bf;// balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			// 插入值更大则插入到右边
			// .优先级高于->
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			// 小则在左边
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回false
			else
			{
				return false;
			}
		}
		// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置
		// key值大于父亲的值则在右侧
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		// 更新平衡因子
		while (parent)// 最坏情况为空结束循环
		{
			// 插入父亲的左边，父亲的平衡因子--
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			// 插入父亲的右边，父亲的平衡因子++
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			// 判断父亲的平衡因子的情况
	
			// 平衡因子为0，树高度没变，不再更新
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			// 父亲的子树高度变了，需要继续更新平衡因子
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			// 父亲所在的子树高度不平衡，需要旋转处理
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 右单旋
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				// 左单旋
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				// 右左单旋 右高 左高
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				// 左右单旋 左高 右高
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}

				break;// 跳出循环，旋转之后一定平衡
			}
			// 理论上不可能出现该情况
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}
	// 右单旋 左边较高
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		// 更新parent
		parent->_left = subLR;
		// subLR不为空则更新父亲
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;//xxx

		// 提前存parent的父亲
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		// parent为根节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			// parent为ppNode的左结点
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppNode;
		}
		// 更新平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	// 左单旋 右边较高
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		// 更新parent
		parent->_right = subRL;
		// subRL不为空
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		// 提前存parent的父结点
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		// parent为根节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			// 左
			if (parent == ppNode->_right)
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}

		// 平衡因子
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况

		// 先对右孩子右单旋
		RotateR(parent->_right);
		// 再对自己左单旋
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	// 左右单旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;
		// 先对左孩子左单旋
		RotateL(parent->_left);
		// 再对parent右单旋
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}
	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		// 较高树的高度+1
		return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
	}
	int _Size(Node* root)
	{
		return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		// 不平衡能直接返回结果
		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
			return false;

		// 顺便检查一下平衡因子是否正确
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		return _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};