【概率统计】三扇门游戏(蒙提霍尔问题)

news2025/1/11 20:50:34

三扇门游戏

  • 两种答案
    • 2/3的重选正确率
    • 1/2的重选正确率
  • 正确答案

也称为蒙提霍尔问题(Monty Hall problem):

有三扇门,其中只有一扇是正确的门,打开后将能获得一辆豪车。另外两扇门是错误选项,门内只有山羊。从门外无法获知那扇才是正确选项。挑战者需要从三扇门中选择一扇打开。
在决定选择某扇门后,还剩两个选项,其中至少有一个是错误选择。此时,(知道正确答案的)主持人打开了没被选中的门中错误的那个,让挑战者确认了门后的山羊,并询问:“是否要重新选择?”
挑战者是否应该重选,还是应该坚持最初的选择?又或者是两种做法没什么区别?

蒙提霍尔问题

两种答案

对于这个问题,可能会有两种关于重选后正确的概率的答案。但只有一个答案是正确的。

2/3的重选正确率

在挑战者做出第一次选择之后,有1/3的概率正确,2/3的概率不正确。
对于重选后的情况,可以分成两种:

  • 如果第一次选择正确,重选必定错误
  • 如果第一次选择错误,重选必定正确

也就是说,“第一次选择错误”的概率就是“重选后正确”的概率。所以,重选的正确率是2/3.重选更加有利。

1/2的重选正确率

在游戏开始时,存在三种可能:

  1. 门1是正确答案(概率1/3)
  2. 门2是正确答案(概率1/3)
  3. 门3是正确答案(概率1/3)

假设挑战者选择门3,而主持人打开了门1。因为主持人打开的肯定是错误的门,那么就只剩下了两种可能:

  1. 门2是正确答案(概率1/2)
  2. 门3是正确答案(概率1/2)

此时,重新选择门2与继续选择门3的概率似乎都是1/2。

正确答案

很多时候直接计算某件事发生的可能性非常难,但我们可以比较容易的列举所有的可能情况。这就像是《复联》中奇异博士看到的平行世界。比如,抛一次硬币的平行世界是确定的,只有正面朝上的世界或者正面朝下的世界,这两种。但是最终我们会落在哪种世界是不确定。但是根据平行世界的数量我们也可以得出抛硬币结果的概率,即两种平行世界中的其中一种(1/2)。
我们可以用相同的思路来验证“三扇门”游戏中的重选正确率。

首先,我们假设有18个平行世界。其中6个平行世界中,门1是正确选项;另外6个平行世界中,门2是正确选项;剩余6个平行世界中,门3个正确选项。这3种平行世界中,分别都有挑战者选择门1的2个平行世界、选择门2的2个平行世界,以及选择门3的2个平行世界。所有平行世界的情况如下表:

挑战者选择门1挑战者选择门2挑战者选择门3
门1是正确答案 ◯ \bigcirc 2个世界X 2个世界X 2个世界
门2是正确答案X 2个世界 ◯ \bigcirc 2个世界X 2个世界
门3是正确答案X 2个世界X 2个世界 ◯ \bigcirc 2个世界

接下来,主持人打开一扇错误的门(没被选择的正确门不会被打开)。情况就会变成如下所示:

挑战者选择门1-挑战者选择门2-挑战者选择门3-
主持人打开门2打开门3打开门1打开门3打开门1打开门2
门1是正确答案 ◯ \bigcirc 1个世界 ◯ \bigcirc 1个世界X 2个世界X 2个世界
门2是正确答案X 2个世界 ◯ \bigcirc 1个世界 ◯ \bigcirc 1个世界X 2个世界
门3是正确答案X 2个世界X 2个世界 ◯ \bigcirc 1个世界 ◯ \bigcirc 1个世界

可以看到,重选后正确的世界,为所有前面打"X"的世界,总共有12个。所以重选后的正确率为 12 / 18 = 2 / 3 12/18=2/3 12/18=2/3

1/2的重选正确率之所以错误,是因为当挑战者选择了门3,而主持人打开了门1之后,门2是正确答案的世界有2个,而门3是正确答案的世界有1个,所以并不是五五开的。

其实,从另一个角度来看,1/2的答案之所以错了,是因为它将主持人打开门之后的样本空间作为了一个新的样本空间,从而与前面的步骤没有了联系,所以才会得出1/2的答案。它没有在整个过程中保持样本空间的统一性。

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