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第3章 离散时间信号和系统的
引言
信号和系统的分析方法有两种
模拟信号与系统的时域分析
模拟信号与系统的频域分析
离散时间信号和系统
历史回顾
3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换
3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质
1. DTFT的周期性
2. 线性
3. 时移(位移)与频移
4.序列乘以n（频域微分）
5.共轭序列
6. DTFT的对称性
总 结
分析DTFT的对称性
7. 时域卷积定理
8. 频域卷积定理
9. 帕斯瓦尔(Parseval)定理
第3章 离散时间信号和系统的
3.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）
序列的离散时间傅里叶变换
序列的离散时间傅里叶变换的性质
基本序列的离散时间傅里叶变换
3.2 离散时间信号的Z域分析
3.3 离散时间LTI系统的频域分析
3.4 离散时间LTI系统的Z域分析
引言
信号和系统的分析方法有两种
时域分析法
频率分析法
模拟信号与系统的时域分析
以时间作为参照来观察动态世界的方法为时域分析，如股票的走势、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述
模拟信号与系统的频域分析
在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如声音信号：男生声音低沉浑厚，因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，因为女声中高频分量更多
频域 分 析 使 我 们 可 以 从 另 一 个 角 度 来 观 察 和 分 析信号
用傅立叶变换将时间域函数转换到频率域，用拉普拉斯变换作为傅立叶变换的推广，对信号进行复频域分析
离散时间信号和系统
信号用序列表示，而系统则用差分方程描述
频域分析是用Z变换或离散时间傅里叶变换(DTFT)
离散时间傅里叶变换和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性质是类似的
本章学习上述两个变换，以及LTI系统的频域和Z域分析
本章内容也是数字信号处理这一领域的基础
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶
法国数学家和物理学家，因提出傅里叶级数及其在热传播上的应用而闻名
傅里叶变换和傅里叶定律为他而命名
傅里叶也被普遍认为温室效应的发现者
傅里叶变换：数学棱镜
傅里 叶 变 换好用 ， 物理 意义 明 确 ，但其 存 在的 条件苛刻，要求时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换推广了这一概念
在自 然 界 ， 指数 信 号 是 衰 减 最 快 的 信 号 之 一 ， 对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换
Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换
狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions)
（1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的
数目应是有限个；
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限
个；
（3）在一周期内，信号是绝对可积的
一般我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件。
狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。
历史回顾
3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换
序列 的 离 散 时 间 傅 里 叶 变 换 (Discrete time Fourier transform, DTFT ) 的定义
DTFT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和：
为求DTFT的反变换，用ejωm乘(3.1.1)式两边，并在 -π ~ π(ω的一个周期)内对ω进行积分，得
将(3.1.4)带入(3.1.3)得：
对比分析
例 3.1.1 求如下x(n)的离散时间傅立叶变换，如果存在，请画出其频域信号
设N=4， 幅度与相位随ω变化曲线如下图所示
3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质
1. DTFT的周期性
在如下定义式中，n取整数，
因此下式成立，其中M为整数
序列的离散时间傅里叶变换的周期是2π。
分析-π～π之间的DTFT
对于离散时间信号，信号的直流和低频分量集中在w=0和2Π 整数倍附近，信号最高频率应该集中在 附近
由于序列的傅里叶变换具有周期性，因此经常将x（n）的傅里叶变换写成X（），而不是成x（jw），以显示其周期性
2. 线性
3. 时移(位移)与频移
4.序列乘以n（频域微分）
5.共轭序列
6. DTFT的对称性
1)共轭对称序列 序列xe(n)满足下式：
将xe(n)用其实部与虚部表示
将上式两边n用-n代替， 并取共轭， 得到
根据(3.1.8)式，上面两式左边相等，得到
共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。
2) 共轭反对称序列
将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：
同样的道理可以得到
共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数
例 3.1.3 试分析x(n)=的对称性
解：
将x(n)的n用-n代替，x(-n)= ，再取共轭得到：
x*(-n)=
因此x(n) = x*(-n)，满足(3.1.8)式，x(n)是共轭对称序列如展成实部与虚部， 得到
x(n)=cosωn+j sinωn
上式表明，共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数
对于一般序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示，即
x(n) = xe(n)+xo(n)
式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(3.1.10)式中的n用-n代替，再取共轭得到
x*(-n) = xe(n)-xo(n)
利用以上两式，得到
对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：
X(ejω) = Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)与Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分 ，它们满足
同样有下面公式满足：
总 结
共轭对称
共轭反对称
分析DTFT的对称性
(a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)
x(n) = xr(n)+jxi(n)
对上式进行DTFT，得到
X() = Xe(
)+Xo(
)
式中
上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明：
Xe(ejω)具有共轭对称性
Xo(ejω)具有共轭反对称性
最后得到结论
序列分成实部与虚部两部分，实部的DTFT具有共轭对称性，虚部乘j一起对应的DTFT具有共轭反对称性
(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，
x(n) = xe(n)+xo(n)
由下式进行DTFT
得：
总结
设h(n)是实因果序列，其DTFT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。
实部对应的是共轭对称分量,
共轭对称分量的实部是偶函数，虚部是奇函数.
因此实序列的DTFT的实部是偶函数，虚部是奇函数
模平方是w的偶函数相位是w的奇函数
7. 时域卷积定理
因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算 也可以
在频域按照(3.1.11)式，求出输出的DTFT，再作逆DTFT求出输
出信号
8. 频域卷积定理
该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积
关系。此定理也称为调制定理
9. 帕斯瓦尔(Parseval)定理
说明：信号时域的总能量等于频域的总能量：能量守恒
表3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换的主要性质
、表3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换的主要性质
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