【数学分析笔记】第1章第2节:映射与函数(2)

news2024/9/21 16:30:22

1. 集合与映射

1.12 函数(实函数)

函数是映射的一种特殊情况,
f : X ⟶ Y f:\textbf{X}\longrightarrow \textbf{Y} f:XY
x ⟼ y = f ( x ) x\longmapsto y=f(x) xy=f(x)
如果 X ⊂ R , Y = R \textbf{X}\subset\mathbb{R},\textbf{Y}=\mathbb{R} XR,Y=R,则称 f f f为一元实函数,简称函数
对函数来说,可表示为 y = f ( x ) , x ∈ X = D f y=f(x),x\in\textbf{X}=\textbf{D}_{f} y=f(x),xX=Df
【注】 D f \textbf{D}_{f} Df f f f的定义域

【例】有一块正方形铁板,把正方形四个角都挖掉一个相同的小的正方形,把它折起来变成一个无盖子的长方体,假设正方形的边长为 a a a,挖掉的正方形的边长为 x x x,求其体积 V V V

V = x ( a − 2 x ) 2 , x ∈ ( 0 , a 2 ) V=x(a-2x)^{2},x\in\left(0,\frac{a}{2}\right) V=x(a2x)2,x(0,2a)
其中 x x x为自变量, V V V为因变量。
【注】定义域中 a 2 \frac{a}{2} 2a是右开的,是因为挖小正方向,最多挖到小正方形边长小于大正方形边长一半,如果正好挖到一半,这个大正方形就挖没了,没有意义了。

1.13 基本初等函数

  • 常数函数: y = c y=c y=c
  • 幂函数: y = x α , ( α ∈ R ) y=x^{\alpha},(\alpha\in\mathbb{R}) y=xα,(αR)
  • 指数函数: y = a x , ( 0 < a , a ≠ 1 ) y=a^{x},(0<a,a\ne 1) y=ax,(0<a,a=1)
  • 对数函数: y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=\text{log}_{a}x(a>0,a\ne 1) y=logax(a>0,a=1)
  • 三角函数: y = sin x , y = cos x , y = tan x , y = cot x , . . . y=\text{sin}x,y=\text{cos}x,y=\text{tan}x,y=\text{cot}x,... y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,...
  • 反三角函数: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , . . . y=\text{arcsin}x,y=\text{arccos}x,y=\text{arctan}x,... y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,...
    补一下中学没学过的函数,考研的时候学过,有点忘了:



1.14 初等函数

  • 初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数。
    【例】 y = a x 2 + b x + c y=ax^{2}+bx+c y=ax2+bx+c
    【例】 y = log a ( 1 + x ) x 2 + 1 y=\frac{\text{log}_{a}(1+x)}{\sqrt{x^{2}+1}} y=x2+1 loga(1+x)
    【例】 y = sin 1 x + cos 2 x y=\text{sin}\frac{1}{x}+\text{cos}^{2}x y=sinx1+cos2x
    【例】 y = e − x 2 + arctan 1 x y=e^{-x^{2}}+\text{arctan}\frac{1}{x} y=ex2+arctanx1
  • 自然定义域:自变量的最大取值范围(如果函数不标明定义域,就认为其定义域是自然定义域)
    【例】 y = x n , n ∈ N + y=x^{n},n\in\mathbb{N}^{+} y=xn,nN+,它的自然定义域为 D = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,+\infty) D=(,+) y = sin x , a x , . . . y=\text{sin}x,a^{x},... y=sinx,ax,...它们的自然定义域都是 D = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,+\infty) D=(,+)
    y = log a x y=\text{log}_{a}x y=logax的自然定义域是 D = ( 0 , + ∞ ) \textbf{D}=(0,+\infty) D=(0,+)
    y = arcsin x y=\text{arcsin}x y=arcsinx的自然定义域为 D = [ − 1 , 1 ] \textbf{D}=[-1,1] D=[1,1]
    y = x α , α = 1 3 , D = ( − ∞ , + ∞ ) y=x^{\alpha},\alpha=\frac{1}{3},\textbf{D}=(-\infty,+\infty) y=xα,α=31,D=(,+)
    y = x α , α = 1 2 , D = [ 0 , + ∞ ) y=x^{\alpha},\alpha=\frac{1}{2},\textbf{D}=[0,+\infty) y=xα,α=21,D=[0,+)
    y = x α , α = − 1 2 , D = ( 0 , + ∞ ) y=x^{\alpha},\alpha=-\frac{1}{2},\textbf{D}=(0,+\infty) y=xα,α=21,D=(0,+)

【例1.2.2】求自然定义域 D \textbf{D} D与值域 R \textbf{R} R
(1) y = x + 1 x y=x+\frac{1}{x} y=x+x1 D = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) , R = ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty),\textbf{R}=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty) D=(,0)(0,+),R=(,2][2,+),这个是对号函数,其图像和性质如下:

(2) y = arcsin 2 x − 1 3 , − 1 ≤ 2 x − 1 3 ≤ 1 , D = [ − 1 , 2 ] , R = [ − π 2 , π 2 ] y=\text{arcsin}\frac{2x-1}{3},-1\le\frac{2x-1}{3}\le1,\textbf{D}=[-1,2],\textbf{R}=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] y=arcsin32x1,132x11,D=[1,2],R=[2π,2π]
(3) y = 3 + 2 x − x 2 = ( 3 − x ) ( 1 + x ) , D = [ − 1 , 3 ] , R = [ 0 , 2 ] y=\sqrt{3+2x-x^{2}}=\sqrt{(3-x)(1+x)},\textbf{D}=[-1,3],\textbf{R}=[0,2] y=3+2xx2 =(3x)(1+x) ,D=[1,3],R=[0,2](根号下的二次函数对称轴处取得的值就是值域的最值,也就是 x = 1 x=1 x=1的时候, y m a x = 2 y_{max}=2 ymax=2
(4) y = log a x − 2 x 2 − 3 x − 4 = log a x − 2 ( x − 4 ) ( x + 1 ) y=\text{log}_{a}\frac{x-2}{x^{2}-3x-4}=\text{log}_{a}\frac{x-2}{(x-4)(x+1)} y=logax23x4x2=loga(x4)(x+1)x2,则 x − 2 ( x − 4 ) ( x + 1 ) > 0 \frac{x-2}{(x-4)(x+1)}>0 (x4)(x+1)x2>0且分母 ( x − 4 ) ( x + 1 ) ≠ 0 (x-4)(x+1)\ne 0 (x4)(x+1)=0,相当于 ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x + 1 ) > 0 (x-2)(x-4)(x+1)>0 (x2)(x4)(x+1)>0 x ≠ 4 , x ≠ − 1 x\ne 4,x\ne -1 x=4,x=1,由标根穿线法(从右上开始往下穿,奇次因子穿,偶次因子不穿),穿线后别忘了和分母不为0的情况做交集:

所以 D = [ − 1 , 2 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) \textbf{D}=[-1,2)\cup(4,+\infty) D=[1,2)(4,+),由于取了自然定义域,满足了 log a u , u > 0 \text{log}_{a}u,u>0 logau,u>0的情况,所以其值域 R = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{R}=(-\infty,+\infty) R=(,+)

1.15 函数的表示

1.15.1 显示表示

y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)为函数的显示表示,把自变量放到右边,因变量放到左边。

1.15.2 分段表示

分段表示 A \textbf{A} A B \textbf{B} B是实数集合 R \mathbb{R} R的子集,且 A ∩ B = ∅ \textbf{A}\cap\textbf{B}=\emptyset AB= φ ( x ) \varphi (x) φ(x)定义在 A \textbf{A} A上, ψ ( x ) \psi (x) ψ(x)定义在 B \textbf{B} B上。
f ( x ) = { φ ( x ) , x ∈ A ψ ( x ) , x ∈ B f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \varphi(x), & x\in\textbf{A} \\ \psi (x), & x\in\textbf{B} \end{array}\right. f(x)={φ(x),ψ(x),xAxB
f ( x ) f(x) f(x)这样的表示为函数的分段表示(可以分成3,4,…无限段)。

【例1.2.9】有两个城市甲和乙,有一个在甲城,他有一天开汽车去乙,其具体走法如下:

求路程 S S S与时间 t t t的函数关系。
【解】 S ( t ) = { 45 t , 0 ≤ t < 2 3 45 × 2 3 + 100 × ( t − 2 3 ) = 30 + 100 ( t − 2 3 ) , 2 3 ≤ t < ( 2 3 + 7 4 ) = 2 5 12 30 + 100 ( 2 5 12 − 2 3 ) + 40 ( t − 2 5 12 ) = 205 + 40 ( t − 2 5 12 ) , 2 5 12 ≤ t < ( 2 5 12 + 1 2 ) = 2 11 12 S(t)=\left\{\begin{array}{ll} 45t, & 0\le t < \frac{2}{3} \\ 45\times\frac{2}{3}+100\times(t-\frac{2}{3})=30+100(t-\frac{2}{3}), & \frac{2}{3}\le t < (\frac{2}{3}+ \frac{7}{4} )=2\frac{5}{12}\\ 30+100(2\frac{5}{12}-\frac{2}{3})+40(t-2\frac{5}{12})=205+40(t-2\frac{5}{12}), & 2\frac{5}{12}\le t < (2\frac{5}{12}+\frac{1}{2})=2\frac{11}{12} \end{array}\right. S(t)= 45t,45×32+100×(t32)=30+100(t32),30+100(212532)+40(t2125)=205+40(t2125),0t<3232t<(32+47)=21252125t<(2125+21)=21211

【注】如果一段分段区间左闭右开,则整个分段函数最好统一。

【例1.2.10】【符号函数】
sgn x = { 1 , x > 0 0 , x = 0 − 1 , x < 0 \text{sgn}x=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end{array}\right. sgnx= 1,0,1,x>0x=0x<0

它的定义域 D = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,+\infty) D=(,+),值域 R = { − 1 , 0 , 1 } \textbf{R}=\{-1,0,1\} R={1,0,1}
【例1.2.11】【“整数部分”函数】"[]"表示 x x x的整数部分,向下取整,比如 x = 3.5 , [ x ] = 3 ; x = − 2.7 , [ x ] = − 3 x=3.5,[x]=3;x=-2.7,[x]=-3 x=3.5,[x]=3;x=2.7,[x]=3
y = [ x ] = n , n ≤ x < n + 1 , n ∈ Z y=[x]=n,n\le x < n+1,n\in\mathbb{Z} y=[x]=n,nx<n+1,nZ,图像如下:

它是分段表示的函数,分为无限可列段。
定义域 D = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,+\infty) D=(,+),值域 R = Z \textbf{R}=\mathbb{Z} R=Z

【例1.2.12】【“非负小数部分”函数】
y = ( x ) = x − [ x ] y=(x)=x-[x] y=(x)=x[x]
其图像如下:

定义域 D = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,+\infty) D=(,+),值域 R = [ 0 , 1 ) \textbf{R}=[0,1) R=[0,1)

1.15.3 隐式表示

F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0(方程), y y y x x x的关系隐藏在方程中,称为函数的隐式表示
【例1.2.13】 x 2 + y 2 = R 2 x^{2}+y^{2}=R^{2} x2+y2=R2(圆方程)

改成 x 2 + y 2 − R 2 = 0 x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 x2+y2R2=0就是隐函数
对任意 x ∈ ( − R , R ) x\in(-R,R) x(R,R),有两个 y y y与它对应,这不符合函数的定义,我们限制 y ≥ 0 y\ge 0 y0,则 y = R 2 − x 2 y=\sqrt{R^{2}-x^{2}} y=R2x2 ,限制 y ≤ 0 y\le 0 y0,则 y = − R 2 − x 2 y=-\sqrt{R^{2}-x^{2}} y=R2x2 ,所以
x 2 + y 2 = R 2 , y ≥ 0 x^{2}+y^{2}=R^{2},y\ge 0 x2+y2=R2,y0是一个函数的隐式表示;而 x 2 + y 2 = R 2 , y ≤ 0 x^{2}+y^{2}=R^{2},y\le 0 x2+y2=R2,y0是另外一个函数的隐式表示,这两个不是同一个函数。
【注】并不是所有的函数都能反解出来函数的显示表达式。

【例1.2.14】【开普勒(Kepler)方程】
y = x + ε sin y y=x+\varepsilon \text{sin}y y=x+εsiny ε \varepsilon ε是椭圆的离心率 0 ≤ ε < 1 0\le\varepsilon <1 0ε<1,它描述的是天体和行星的关系, x x x是与时间有关的量, y y y是与位置有关的量。
y − x − ε sin y = 0 y-x-\varepsilon \text{sin}y=0 yxεsiny=0是一个隐函数表示,但是没法反解出显示表达式,以后会有隐函数存在定理来判别,但是这个隐函数方程可以表示 y y y x x x的函数关系。

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