第九章 动态规划 part05
力扣上没有纯粹的完全背包的题目，我在卡码网上制作了题目，大家可以去做一做，题目链接在下面的文章链接里。
后面的两道题目，都是完全背包的应用，做做感受一下
完全背包
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1uK411o7c9
https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85.html
518. 零钱兑换 II
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1KM411k75j
https://programmercarl.com/0518.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2II.html
377. 组合总和 Ⅳ
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1V14y1n7B6
https://programmercarl.com/0377.%E7%BB%84%E5%90%88%E6%80%BB%E5%92%8C%E2%85%A3.html
70. 爬楼梯 （进阶）
这道题目 爬楼梯之前我们做过，这次再用完全背包的思路来分析一遍
https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%89%88%E6%9C%AC.html
完全背包
题目链接
https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052
解题思路
什么是完全背包?
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
例子：
遍历顺序是怎么样的？
背包正序遍历每个物品就可以使用多次， 可以想想01背包滚动数组为什么倒序，就是因为物品会重复使用。
先遍历物品在遍历背包，先遍历背包在遍历物品都可以
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的
dp状态图
01背包核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，代码如下:
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
dp状态图:
先遍历背包在遍历物品代码如下:
// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
cout << endl;
}
dp状态图：
但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
code
private static int completeBag(int[] weight,int[] value ,int bagSize){
int[] dp=new int[bagSize+1];
for(int i=0;i <weight.length;i++){
for(int j=weight[i];j<=bagSize;j++){
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]+value[i]);
System.out.print(dp[j] + "\t")
}
System.out.println();
}
return dp[bagSize];
}
public static void main(String[] args){
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagSize = 4;
int res=completeBag(weight,value,bagSize);
System.out.println(res);
}
518. 零钱兑换 II
题目链接
https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/
解题思路
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序
2.确定递推公式
不选i 和 选 i 一共多少种方法。
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]]+1;
3.如何初始化dp数组 求多少种方法 dp[0]=1
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法,所以dp[0] 是1
4.确定遍历顺序
本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序 ，一定是先遍历物品在遍历背包。
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5
先遍历背包在遍历物品，容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况 这是不正确的，这求的就是排列数了，下面我进行了验证
code
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp=new int[amount+1];
dp[0]=1;
//4.确定遍历顺序
//遍历顺序必须先物品在背包
for(int i=0;i<coins.length;i++){
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
System.out.print(dp[j] + "\t");
}
System.out.println();
}
return dp[amount];
}
}
为什么不能先遍历背包在遍历物品?
实验遍历物品在遍历背包，遍历背包在遍历物品代码如下:
class Solution {
public static int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp=new int[amount+1];
dp[0]=1;
//4.确定遍历顺序
//遍历顺序必须先物品在背包
for(int i=0;i<coins.length;i++){
//for(int j=coins[i];j<=amount;j++)
for(int j=0;j<=amount;j++){//为了打印完全的dp数组
if(j<coins[i]){
System.out.print(dp[j] + "\t");
continue;
}
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
System.out.print(dp[j] + "\t");
}
System.out.println();
}
return dp[amount];
}
//如果先遍历背包在遍历物品
public static int change2(int amount, int[] coins) {
int[] dp=new int[amount+1];
dp[0]=1;
for(int j=0;j<=amount;j++){
for(int i=0;i<coins.length;i++){
if(j<coins[i]){
System.out.print(dp[j] + "\t");
continue;
}
dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
System.out.print(dp[j] + "\t");
}
System.out.println();
}
return dp[amount];
}
public static void main(String[] args) {
int amount = 5;
int []coins = {1, 2, 5};
change2(amount,coins);
}
}
1 ， 2， 5 先遍历物品在遍历背包
1，2，5 先遍历背包在遍历物品，
说是计算的排列，{1,2} {2,1} 是俩种， 自己模拟验证一下，如下打印的dp数组：
背包是 0 1 2 3 4 5
背包0可以装物品0的最大排列数是 {1} 等于1
背包0可以装物品1的最大排列数是 {1} 等于1
背包0可以装物品2的最大排列数是 {1} 等于1
背包1可以装物品0的最大排列数是 {1} 等于1
背包1可以装物品1的最大排列数是 {1} 等于1
背包1可以装物品1的最大排列数是 {1} 等于1
背包2可以装物品0的最大排列数是 {1}
背包2可以装物品1的最大排列数是 {1，1} 和 {2}
背包2可以装物品2的最大排列数是 {1，1} 和 {2}
背包3 可以装物品0的最大排列数是 {1，1，1}和{1，2} 这为什么是2？
对于这个解释 搜索了GPT之后突然明白了
背包3 可以装物品1的最大排列数是 {1，1，1}和{1，2} 和{2,1}？
{2,1} 怎么来的？
dp[3] = dp[3] + dp[1]
选硬币2 是{2}
为了能放下硬币2 dp[3-2]=dp[1] 选硬币{1}
组合为{2,1}
所以最大排列数是 3
377. 组合总和 Ⅳ
题目链接
https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/description/
解题思路
本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列。
其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来，
如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。
那么就不枉我上题那么分析，直接秒了。。。
记住：
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础
code
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
//dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
int[] dp=new int[target+1];
dp[0]=1;
for(int j=0;j<=target;j++){
for(int i=0;i<nums.length;i++){
if(j>=nums[i]){
dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
}
70. 爬楼梯 （进阶）
题目链接
https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1067
解题思路
还是和之前一样，先遍历背包在遍历物品 得到排列
code
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static int climb(int n,int m){
//n 表示背包
//m 表示物品
int[] dp=new int[n+1];
dp[0]=1;
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int i=1;i<=m;i++){
if(j>=i){
dp[j]+=dp[j-i];
}
}
}
return dp[n];
}
public static void main(String[] args){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int n=sc.nextInt();
int m=sc.nextInt();
int res=climb(n,m);
System.out.println(res);
}
}
