听的是B站UP主唐小谦的解析几何课，万年的老计算机专业人也想学数学OWO。

1. 课程介绍与要求

前面都是老师的课程介绍，从板书证明开始记
【证明】在三角形ABC中，D为BC边的中点，证明：$\angle \text{ABC}=90^{\circ }$的充要条件是$\text{AD}=\frac{1}{2}\text{BC}$.

【证】先证充分性，
因为D为BC边的中点，所以BD=DC，
因为$\text{AD}=\frac{1}{2}\text{BC}$，所以$\text{AD}=\text{BD}=\text{DC}$
所以三角形ADB和三角形ADC是等腰三角形
所以$\angle \text{DBA}=\angle \text{DAB}$，$\angle \text{DCA}=\angle \text{DAC}$
故$\angle \text{BAC}=\angle \text{DAB}+\angle \text{DAC}=\angle \text{DBA}+\angle \text{DCA}$
由于$\angle \text{BAC}+\angle \text{DBA}+\angle \text{DCA}=2(\angle \text{DBA}+\angle \text{DCA})=180^{\circ }$
所以$\angle \text{DBA}+\angle \text{DCA}=\angle \text{BAC}=90^{\circ }$
再证必要性（已知：$\angle \text{BAC}=90^{\circ }$）
以D点为原点，以向量$\overrightarrow{BC}$方向为$x$轴正方向，以垂直于BC边向上的方向为$y$轴正方向建立如下坐标系：

则三角形中各点坐标分别为$\text{A}(x,y),\text{B}(-R,0),\text{D}(0,0),\text{C}(R,0)$
由于$\angle \text{BAC}=90^{\circ }$，且$\overrightarrow{AB}=(x+R,y),\overrightarrow{AC}=(x-R,y)$
则$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，即$(x+R)(x-R)+y^2=0$
亦即$x^2+y^2=R^2$
说明点A在以点D为圆心，半径为$R$的圆上
则$\text{AD}=\text{BD}=\text{BC}=R$
又因为$\text{BC}=2R$
则$\text{AD}=\frac{1}{2}\text{BC}$