引入
- f(x) 在区间[a,b]上存在，函数值之间是无牵无挂的，连续存在还是间断存在都不一定。
- f(x) 在区间[a,b]上连续，函数值之间距离是一个无穷小量。
- f(x) 在区间[a,b]上可导，函数值之间距离是一个比连续跟小的无穷小量，函数值之间的靠近速度非常快。
导函数性质
导函数极限与连续关系
如果导函数在一点处的极限存在，那么导函数在这个点必然是连续的。
分析： 如果一个函数在区间[a,b]上是可导的，则在该区间每个函数点的靠近速度必然非常快，距离非常近，那么 每个过函数点切线的斜率变化也几乎是连续的。 由此，我们可以推断出，导函数的函数值点也必然是非常接近的。
介值性
如果函数f(x)在[a,b]上是可导的，且 在x=a处的右导数和 在x=b处的左导数 不等于0，那么 在（a，b）上存在u, 使f(u)=A, 其中A是介于 在x=a处的右导数和 在x=b处的左导数之间的任意值。
证明: 构造辅助函数+导数零点定理
保号性
如果在 [a,b] 上f’(x)≠0, 那么f’(x)恒正或恒负。
证明：
反证法，假设在 [a,b] 上f’(x)≠0，且f’(a)<0, f’(b)>0。
由导数零点定理知，存在u∈(a,b)，使得f’(u)=0,
故，与原假设矛盾。
间断点
导函数必然不含第一类间断点和无穷间断点。
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导函数不含第一类间断点，可以有导函数的几何意义分析知或者由导函数的介值性知。
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导函数不含无穷间断点，理由：
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是否含有震荡间断点是不确定的
