$\text{[Problem Discription]}$

$\text{[Solution]}$

这是道好题。

建图，对每一个 $i\to p_i$ 都建立一个有向边，就可以得到一个 $n$ 个点 $n$ 条边组成的图。题目所需要满足的条件可以等价于从任何一个 $S_i$ 为 $\text{1}$ 的边出发走 $l$ 步都能回到自身，且图中不存在自环。

显然，如果存在一个大小为 $g$ 的环（点数一定等于边数，因为每个点的入度和出度均为 $1$），且 $g$ 为 $l$ 的约数，那么这个环上的任意一点均可以走 $l$ 步后回到自身。

根据这个想法，我们就可以判定是否有解：把 $l$ 所有的大于 $1$ 的约数找出来，假设记为 $d_1,d_2,d_3,\cdots ,d_m$，有解等价于存在自然数（包括 $0$）序列 $a_{1\dots m}$，满足：

$$\sum _{i=1}^m{a}_i{d}_i=\beta$$

其中 $\beta$ 是 $k$ 到 $n$ 的任意一个整数（$k$ 表示 $S$ 为 $\text{1}$ 的点的个数）。$\beta$ 表示我们需要将有限制的 $k$ 个点和无限制的点中任意的 $(\beta -k)$ 个一起组成若干个大小为 $d_i$ 的环（如果 $a_i$ 为 $0$，则不存在大小为 $d_i$ 的环）。假设环的大小分别为 $D_1,D_2,\cdots ,D_M$。

显然，我们用背包即可判断是否有解。同时还可以知道我们需要构造哪些大小的环。

注意：$\beta$ 不能等于 $n-1$。如果 $\beta =n-1$，那么剩下的那一个没有限制的点需要形成自环，不合题意。

如果判断有解，剩下的事情就比较简单了：只要依次挑出 $D_i$ 个点首尾相连形成大小为 $D_i$ 的环即可。这部分比较简单，具体看代码。

$\text{[Notice]}$

1. 如果 $k=0$，即没有有限制的点，那么一定有解（$1\to 2,2\to 3,\cdots ,n\to 1$ 即可）。不然会 WA on test $10$。
2. 只有 $(n-1)$ 是不合要求的，大小为 $n$ 的环是符合要求的。写代码时要注意这一点，不然会 WA on test $13$。
3. dp 的时候找到了解就要及时退出，减少代码运行量，不然会 TLE on test $14$。
4. 记得及时清空数组，毕竟是多测。

$\text{Code}$

const int N=5e5+100;

bool f[N],limit[N];
char s[N];long long l;
int T,n,k,p[N],lst[N];
int Div[N],dcnt,beg;
int unlimit[N];

void initdata(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		p[i]=lst[i]=Div[i]=0;
		f[i]=limit[i]=false;
		unlimit[i]=0;
	}
	k=dcnt=beg=0;
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d%lld",&n,&l);
		scanf("%s",s+1);
		
		initdata();
		
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if (s[i]=='1'){
				k++;//统计有限制的点的个数
				limit[i]=true;
			}
		
		for(int i=2;i<=n;i++)
			if (l%i==0&&i!=n-1){
				f[i]=true;
				Div[++dcnt]=i;
				lst[i]=i;//别忘了这个
			}
		
		for(int i=1,flag=1;i<=dcnt&&flag;i++)
			for(int j=Div[i];j<=n;j++)
				if (f[j-Div[i]]&&!f[j]){
					f[j]=true;
					lst[j]=Div[i];
					if (k<=j&&j<=n&&j!=n-1){
						flag=1;break;//及时退出
					}
				}
		
		for(int i=k;i<=n;i++)
			if (f[i]&&i!=n-1){
				beg=i;//对应解析里的 beta
				break;
			}
		
		if (beg!=0){
			for(int i=1,l=0;l<n-beg;i++)
				if (!limit[i]) unlimit[++l]=i;
			if (beg!=n){
				for(int i=1;i<n-beg;i++)
					p[unlimit[i]]=unlimit[i+1];
				p[unlimit[n-beg]]=unlimit[1];
			}//多余的无限制的点也要连成环（不过环的大小没限制啦是真的）
			
			int l=0,r=0,cnt=0,tmp=beg;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if (!p[i]){
					if ((++cnt)==lst[tmp]){
						p[r]=i;
						tmp-=lst[tmp];
						cnt=0;
					}
					
					p[i]=l;l=i;
					if (cnt==1) r=i;
				}//构造解
		}
		
		if (k==0){
			for(int i=1;i<n;i++)
				printf("%d ",i+1);
			printf("1\n");
		}
		else if (!beg) printf("-1\n");
		else{
			for(int i=1;i<=n;i++)
				printf("%d%c",p[i],(i==n?'\n':' '));
		}
	}
	
	return 0;
}

Wish You Good Luck!