同态加密和SEAL库的介绍（六）BGV 方案

news2024/9/20 1:02:36

前面介绍 BFV 和 CKKS 加密方案，这两者更为常用。并且也解释了 Batch Encoder 和级别的概念，这对接下来演示 BGV 会很有帮助。

一、BGV简介

BGV (Brakerski-Gentry-Vaikuntanathan) 方案 是一种基于环学习同态加密（RLWE）问题的加密方案。BGV 方案可以实现任意计算电路的同态加密，特别适合于加密数据的复杂运算。

特点：

同态运算：支持加法和乘法的任意组合，这意味着它可以评估任意计算电路。
级联密文：密文可以通过一系列同态运算来处理，而不需要在每一步进行解密和重新加密。
噪声管理：在每次同态运算之后，密文中的噪声会增加。BGV 方案采用了噪声管理技术（例如重新线性化和模数切换）来控制噪声增长，确保运算的正确性。

优点：

灵活性：支持任意复杂的计算。
效率：通过噪声管理技术提高了运算效率。
安全性：基于环学习同态加密问题的安全性高。

缺点：

复杂性：实现和使用BGV方案比一些其他方案更为复杂。
资源消耗：噪声管理和重新线性化等操作增加了计算和存储的开销。

二、3种方案比较：

先看发展顺序：

BGV 方案：2011年 Brakerski、Gentry 和 Vaikuntanathan 提出。
BFV 方案：2012年 Fan 和 Vercauteren 提出。
CKKS 方案：2017年 Cheon、Kim、Kim 和 Song 提出。

分别的适用场景：

如果需要对整数进行精确计算，BFV 方案是一个好的选择。
如果需要对浮点数进行近似计算，CKKS 方案是更合适的。
如果需要复杂的计算电路，BGV 方案提供了最大的灵活性。

每种方案都有其独特的优势和适用场景，在实际应用中，选择适合的方案可以最大化地发挥同态加密技术的优势。

三、BGV 示例

在本示例中，计算8次多项式 $x^8$ ，并且在整数 1、2、3、4上的加密 $x$ 。多项式的系数可以看作是明文输入计算在 plain_modulus == 1032193 模数下进行。

在BGV方案中对加密数据进行计算类似于BFV。这个例子的主要目的是解释BFV和BGV在密文系数模数选择和噪声控制方面的区别。

3.1 参数设置和创建实例

这里先使用 BFVDefault 创建 coeff_modulus，后面会介绍如何更好的设置。

EncryptionParameters parms(scheme_type::bgv);
size_t poly_modulus_degree = 8192;
parms.set_poly_modulus_degree(poly_modulus_degree);
parms.set_coeff_modulus(CoeffModulus::BFVDefault(poly_modulus_degree));
parms.set_plain_modulus(PlainModulus::Batching(poly_modulus_degree, 20));
SEALContext context(parms);

KeyGenerator keygen(context);
SecretKey secret_key = keygen.secret_key();
PublicKey public_key;
keygen.create_public_key(public_key);
RelinKeys relin_keys;
keygen.create_relin_keys(relin_keys);
Encryptor encryptor(context, public_key);
Evaluator evaluator(context);
Decryptor decryptor(context, secret_key);

这里想再次强调一下，因为用的是 Batch 批处理，所以在设置 plain_modulus 的时候，要求是与 2倍 poly_modulus_degree 同余 1 的素数，这与普通的 Encoder 要求不同。上面代码中是用 PlainModulus::Batching 自动生成满足条件的随机数。
这里输出设置的参数：

3.2 设置输入并编码

批处理和槽操作在 BFV 和 BGV 中是相同的：

BatchEncoder batch_encoder(context);
size_t slot_count = batch_encoder.slot_count();
size_t row_size = slot_count / 2;

这里特意设置 row_size 变量，是因为之前讲批处理的时候，强调过内部在逻辑上会编码成两行，故其实就是 $\left [ 2, slotcount /2\right ]$ 。当然这个结构对于编码和计算是基本无感的，只有在考虑行旋转和列旋转的时候会有影响，这个下一篇会具体介绍（挖坑 + 1）。

vector<uint64_t> pod_matrix(slot_count, 0ULL);
pod_matrix[0] = 1ULL;
pod_matrix[1] = 2ULL;
pod_matrix[2] = 3ULL;
pod_matrix[3] = 4ULL;
Plaintext x_plain;
batch_encoder.encode(pod_matrix, x_plain);

这里对编码结果打印输出一下：

3.3 直接运算

Ciphertext x_encrypted;
cout << "Encrypt x_plain to x_encrypted." << endl;
encryptor.encrypt(x_plain, x_encrypted);
cout << "+ noise budget in freshly encrypted x: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_encrypted) << " bits" << endl;

这里先对输入进行加密，并输出噪声预算：

先计算 $x^2$ ：

Ciphertext x_squared;
evaluator.square(x_encrypted, x_squared);
cout << "+ size of x_squared: " << x_squared.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_squared, relin_keys);
cout << "+ size of x_squared (after relinearization): " << x_squared.size() << endl;
cout << "+ noise budget in x_squared: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_squared) << " bits" << endl;

因为是密文乘密文，为了减少乘法后的密文大小，这里进行了重新线性化，并输出了噪声预算，同时进行解密验证：

可以看出，运算中间结果是正确的，并且重新线性化后，密文大小从3减小到2。

再计算 $x^4$ ：

Ciphertext x_4th;
evaluator.square(x_squared, x_4th);
cout << "+ size of x_4th: " << x_4th.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_4th, relin_keys);
cout << "+ size of x_4th (after relinearization): " << x_4th.size() << endl;
cout << "+ noise budget in x_4th: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_4th) << " bits" << endl;

同样进行了重新线性化，并输出目前噪声预算，同时进行解密验证：

可以看出这里的噪声预算下降的特别快，只剩 35 bits 了。

最后计算 $x^8$ ：

Ciphertext x_8th;
evaluator.square(x_4th, x_8th);
cout << "+ size of x_8th: " << x_8th.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_8th, relin_keys);
cout << "+ size of x_8th (after relinearization): " << x_8th.size() << endl;
cout << "+ noise budget in x_8th: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_8th) << " bits" << endl;

噪声预算已经达到0，这意味着解密无法得到正确的结果。故此，引出 BGV需要模数切换以减少噪声增长！

3.4 加入模数切换的运算

下面演示在每次重新线性化后插入模数切换：（避免啰嗦，这里直接完整计算）

cout << "+ noise budget in x_squared (previously): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_squared) << " bits" << endl;
evaluator.square(x_encrypted, x_squared);
evaluator.relinearize_inplace(x_squared, relin_keys);
evaluator.mod_switch_to_next_inplace(x_squared);
cout << "+ noise budget in x_squared (with modulus switching): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_squared) << " bits" << endl;

evaluator.square(x_squared, x_4th);
evaluator.relinearize_inplace(x_4th, relin_keys);
evaluator.mod_switch_to_next_inplace(x_4th);
cout << "+ noise budget in x_4th (with modulus switching): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_4th) << " bits" << endl;

evaluator.square(x_4th, x_8th);
evaluator.relinearize_inplace(x_8th, relin_keys);
evaluator.mod_switch_to_next_inplace(x_8th);
cout << "+ noise budget in x_8th (with modulus switching): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_8th) << " bits" << endl;

decryptor.decrypt(x_8th, decrypted_result);
batch_encoder.decode(decrypted_result, pod_result);

这里对中间结果也进行解密，并输出其噪声预算的变化：