应用场景——修路问题
1.某地有 7 个村庄（A，B，C，D，E，F，G），现在需要修路把 7 个村庄连通
2.各个村庄的距离用边线表示（权），比如 A - B 距离 5 公里
3.问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且修建公路的总里程最少？
思路
尽可能选择少的路线，并且每条路线最小，保证里程数最少
最小生成树问题
修路问题的本质就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树（MST）
1.给定一个带权的无向连通图，如何选取一颗生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树
2.N 个顶点，一定有 N-1 条边
3.包含全部顶点
4.N-1 条边都在图中
普里姆算法介绍
一、普里姆算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有 n-1 条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
二、普里姆的算法如下
- 设 G=(V,E) 是连通网，T=(U,D) 是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D是边的集合
- 若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入到集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1
- 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V - U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj） 加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1
- 重复步骤2，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边
普里姆算法的分析
1.从 <A> 顶点开始处理 => <A,G> => 权值 2
2.从 <A,G> 开始，将 A 和 G 顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 => <A,G,B>
3.从 <A,G,B> 开始，将 A,G,B 顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 => <A,G,B,E>
......
6.从 <A,G,B,E,F,D> 开始，将 A,G,B,E,F,D 顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 => <A,G,B,E,F,D,C>
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示，用 10000 表示两点之间不连通
int[][] weight = {
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}
};
//创建一个 MGraph 对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
//创建一个 MinTree 对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
//输出
minTree.showGraph(graph);
//测试普里姆算法
minTree.prim(graph, 0);
}
}
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
//创建图的邻接矩阵
/**
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {
for (int i = 0; i < verxs; i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (int j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写 prim 算法得到最小生成树
/**
* @param graph 图
* @param v v 表示从第几个顶点开始生成
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
//visited[] 标记节点是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
//把当前节点标记为已访问
visited[v] = 1;
//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数在后面的遍历过程中会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { //因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有graph.verxs-1条边
//确定每一次生成的子图和哪个节点最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { //i 节点表示被访问过的节点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { //j 节点表示没有被访问过的节点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换 minWeight （寻找已经访问过的节点间的权值最小的边）
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条边是最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "，" + graph.data[h2] + "> 权值：" + minWeight);
//将当前这个节点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//minWeight 重新设置为最大值 10000
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data; //存放节点数据
int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
