k-means算法原理

news2024/12/25 9:27:12

1 算法简介

k-means（k均值）算法由不同学者于20世纪50-60年代在不同领域提出的一种聚类算法。随后该算法不断得到了改进，成为了一种非常广泛应用的聚类算法。k-means算法是将样本按距离划分为k个簇的一种聚类算法。

2 算法的基本原理

2.1 相关概念

簇：数据点的集合，将相似的数据形成一个集合；

质心：簇中所有点距离的中心。

2.2 距离度量

常见的距离度量包括曼哈顿距离和欧氏距离。k-means一般是通过平方差来衡量点与点之间的“距离”。

$m$ 维数据点 $x=(x_{1},x_{2},...,x_{m})^{T},y=(y_{1},y_{2},...,y_{m})^{T}$

2.2.1 曼哈顿距离

曼哈顿距离（Manhattan Distance）又称绝对距离、市区距离。

数据点 $x,y$ 的曼哈顿距离定义如下：

$d(x,y)=\sum_{m=1}^{M}\left | x_{m} -y_{m}\right |$

2.2.2 欧氏距离

欧氏距离（欧几里得距离，Euclidean Distance）定义如下：

$d(x,y)=\sqrt{\sum_{m=1}^{M}\left ( x_{m} -y_{m} \right )^{2}}$

2.2.3 k-means的平方差度量

k-means算法中，一般是通过平方差来衡量点之间的距离。

$d(x,y)=\sum_{m=1}^{M}\left ( x_{m} -y_{m} \right )^{2}$

2.3 问题求解

k-means算法，将样本分为 $K$ 个簇，求每一个样本点到该簇质心距离的平方之和，并使其最小化，满足这样的条件的质心即为算法的解，相应的簇即为对样本的聚类划分。

样本 $X_{i}\in \mathbb{R}^{m},i=1,2,...,N$ ，假设其质心为 $Z_{j},j=1,2,...,K$ ，则目标函数为：

$Obj = \sum_{j=1}^{K}\sum_{i=1}^{N_{j}}\left \| X_{i}-Z_{j} \right \|^{2}$

要使得上式取得极小值，对于确定的簇 $j$ ，应有 $\frac{\partial Obj}{\partial Z_{j}}=0$ ，即

$\frac{\partial \sum_{i=1}^{N_{j}}\left \| X_{i}-Z_{j} \right \|^{2}}{\partial Z_{j}}=\frac{\partial \sum_{i=1}^{N_{j}}(X_{i}-Z_{j})^{T}(X_{i}-Z_{j})}{\partial Z_{j}}=0$

求解得 $Z_{j}=\frac{1}{N_{j}}\sum_{i=1}^{N_{j}}X_{i}$

此处给出了质心取值的计算方法，但没有解决簇的划分。对于这一问题，解决的办法是启发式迭代。

3 算法过程

3.1 输入输出

（1）输入：样本 $X_{i}\in \mathbb{R}^{m},i=1,2,...,N$ ，簇的个数 $K$ 。

（2）输出： $K$ 个簇。

3.2 算法初始化

质心初始化及迭代停止条件等。

质心初始化：随机选取 $K$ 个样本 $Z_{1}^{(0)},Z_{2}^{(0)},...,Z_{K}^{(0)}$ 作为 $K$ 个簇的质心；

计算样本与质心距离：计算各样本到各簇心的距离，样本 $X_{i}$ 到各质心的距离为 $\left \| X_{i}-Z_{j}^{(0)} \right \|^{2},j=1,2,...,K$

簇的划分：样本 $X_{i}$ 其所属簇为使得距离取最小值的第 $j$ 个簇。记这一划分为 $q^{(0)}(X_{i}):X_{i}\rightarrow \underset{j}{argmin}\left \| X_{i}-Z_{j}^{(0)} \right \|^{2}$ ，

则第 $j$ 个簇的所有样本集合为 $S_{j}^{(0)}=\left \{ X_{i}| q^{(0)}(X_{i})=j,i=1,2,...,N\right \}$

3.3 进行迭代

对于 $t=1,2,...,T$ 轮迭代：

1）更新质心

新的质心为 $Z_{j}^{(t)}=\frac{1}{N_{j}}\sum_{X_{i}\in S_{j}}^{}$ $X_{i}$ ，其中 $N_{j}$ 为簇 $S_{j}$ 的样本数量。

2）计算样本与新质心的距离

计算各样本到各质心的距离，样本 $X_{i}$ 到各质心的距离为 $(X_{i}-Z_{j}^{(t)})^{2},j=1,2,...,K$ 。

3）新的簇划分

样本 $X_{i}$ 其所属新的簇使距离取最小值的第 $j$ 个簇。记这一划分为 $q^{(t)}(X_{i}):X_{i}\rightarrow \underset{j}{argmin}\left \| X_{i}-Z_{j}^{(t)} \right \|^{2}$ ，

则第 $j$ 个簇的所有样本集合为 $S_{j}^{(t)}=\left \{ X_{i}| q^{(t)}(X_{i})=j,i=1,2,...,N\right \}$

4）迭代判断

当质心不再变化，或质心的距离小于指定值，或迭代次数等满足停止条件时，停止迭代；否则进行迭代；

5）得到最终簇划分

$q^{(T)}(X_{i}):X_{i}\rightarrow \underset{j}{argmin}\left \| X_{i}-Z_{j}^{(T)} \right \|^{2}$ ，

其对应的簇为： $S_{j}^{(T)}=\left \{ X_{i}| q^{(T)}(X_{i})=j,i=1,2,...,N\right \}$ ， $j=1,2,...,K$

4 算法实例

这里用sklearn中的KMeans模型进行演示。

import numpy as np
from sklearn.datasets import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans

#样本生成
X, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=4, random_state=1)

#模型训练
kmeans = KMeans(n_clusters=4, random_state=0)
kmeans.fit(X)

#模型预测
y_predict = kmeans.predict(X)

#散点图绘制
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_predict, s=50, cmap='viridis')

#质心可视化
centers = kmeans.cluster_centers_
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', marker='x',s=100, alpha=0.5)