代码随想录算法训练营第二十一天 | 77. 组合， 216.组合总和III ， 17.电话号码的字母组合

77. 组合

思路

回溯法三部曲

方法一：回溯未剪枝

方法二：回溯剪枝

心得收获

216.组合总和III

思路

方法一：回溯-没有使用sum来统计path里元素的总和

方法二：回溯，使用sum来保存当前路径上的总和

心得收获

17.电话号码的字母组合

思路

数字和字母如何映射

回溯法来解决n个for循环的问题

方法一：回溯

方法二：回溯精简

方法三：回溯精简

方法四：回溯精简使用列表

心得收获

77. 组合

题目链接：力扣题目链接

文章讲解：代码随想录

视频讲解：带你学透回溯算法-组合问题（对应力扣题目：77.组合），组合问题的剪枝操作

思路

本题是回溯法的经典题目。

直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到用两个for循环，这样就可以输出和示例中一样的结果。

代码如下：

n = 4
for i in range(1,n+1):
    for j in range(i+1,n+1)
        print("%d,%d"%(i,j))

输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：

n = 100
for i in range(1,n+1):
    for j in range(i+1,n+1)
        for u in range(j+1,n+1):
            print("%d,%d,%d"%(i,j,u))

如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。

此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！

咋整？

回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。

那么回溯法怎么暴力搜呢？

上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。

递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。

一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！

如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。

我们在关于回溯算法，你该了解这些！中说到回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了。

那么我把组合问题抽象为如下树形结构：

77.组合

可以看出这棵树，一开始集合是 1，2，3，4，从左向右取数，取过的数，不再重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

在关于回溯算法，你该了解这些！中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。

回溯法三部曲

递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果path，一个用来存放符合条件结果的集合result。

其实不定义这两个全局变量也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。

为什么要有这个startIndex呢？

建议在77.组合视频讲解中，07:36的时候开始听，startIndex 就是防止出现重复的组合。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

77.组合2

所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

那么整体代码如下：

result = [] // 存放符合条件结果的集合
path = []// 用来存放符合条件单一结果
def backtracking(self,n:int, k:int, startIndex:int)

回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢？

path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

如图红色部分：

77.组合3

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

所以终止条件代码如下：

if len(path) == k:
    result.append(path[:]) #之前文章里面说过数组传递是引用传递，所以最后的结果可以用浅复制来保存结果，直接用path，会得到空的集合，因为后面path回溯会清空path直接影响到这里
    return

单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

77.组合1

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

代码如下：

for i in range(startIndex, n + 1):  # 需要优化的地方
    path.append(i)  # 处理节点
    self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
    path.pop()  # 回溯，撤销处理的节点

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

方法一：回溯未剪枝

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        result = []  # 存放结果集
        self.backtracking(n, k, 1, [], result)
        return result
    def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
        if len(path) == k:
            result.append(path[:])
            return
        for i in range(startIndex, n + 1):  # 需要优化的地方
            path.append(i)  # 处理节点
            self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
            path.pop()  # 回溯，撤销处理的节点

方法二：回溯剪枝

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        result = []  # 存放结果集
        self.backtracking(n, k, 1, [], result)
        return result
    def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
        if len(path) == k:
            result.append(path[:])
            return
        for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2):  # 优化的地方
            path.append(i)  # 处理节点
            self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
            path.pop()  # 回溯，撤销处理的节点

心得收获

回溯本身是暴力解法，但是有时候也是可以剪枝优化的

在遍历的过程中有如下代码：

for i in range(startIndex, n + 1):  # 需要优化的地方
    path.append(i)  # 处理节点
    self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
    path.pop()  # 回溯，撤销处理的节点

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

77.组合4

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for i in range(startIndex, n + 1):

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：len(path);
所需需要的元素个数为: k - len(path);
列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - len(path)）
在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - len(path)) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（len(path)为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

由于python中range函数是左闭右开的区间，所以还需要再+1，才是真正需要的集合

所以优化之后的for循环是：

for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2):

216.组合总和III

题目链接：力扣题目链接

文章讲解：代码随想录

视频讲解：和组合问题有啥区别？回溯算法如何剪枝？| LeetCode：216.组合总和III

思路

该题目和组合题目的思路大致相同，但是多了一个限制条件

方法一：回溯-没有使用sum来统计path里元素的总和

class Solution:
    def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:
        result = []
        path = []
        self.backtracking(n,k,1,path,result)
        return result
    def backtracking(self,n,k,startIndex,path,result) -> None:
        if sum(path) > n:
            return
        if len(path) == k :
            if sum(path) == n:
                result.append(path[:]) 
            return
        for i in range(startIndex,9-(k-len(path))+2):
            path.append(i)
            self.backtracking(n,k,i+1,path,result)
            path.pop()

方法二：回溯，使用sum来保存当前路径上的总和

class Solution:
    def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:
        result = []  # 存放结果集
        self.backtracking(n, k, 0, 1, [], result)
        return result

    def backtracking(self, targetSum, k, currentSum, startIndex, path, result):
        if currentSum > targetSum:  # 剪枝操作
            return  # 如果path的长度等于k但currentSum不等于targetSum，则直接返回
        if len(path) == k:
            if currentSum == targetSum:
                result.append(path[:])
            return
        for i in range(startIndex, 9 - (k - len(path)) + 2):  # 剪枝
            currentSum += i  # 处理
            path.append(i)  # 处理
            self.backtracking(targetSum, k, currentSum, i + 1, path, result)  # 注意i+1调整startIndex
            currentSum -= i  # 回溯
            path.pop()  # 回溯

心得收获

明明python中int变量是不可变类型，在改变了currentSum的值之后，currentSum会指向新的地址，不会影响到上一层递归的currentSum值，那解法二中为什么currentSum要做回溯呢？

其实大家可以debug一下，currentSum确实是不影响上一层递归的值，可以看下图示例：

17.电话号码的字母组合

题目链接：力扣题目链接

文章讲解：代码随想录

视频讲解：还得用回溯算法！| LeetCode：17.电话号码的字母组合

思路

理解本题后，要解决如下三个问题：

数字和字母如何映射
两个字母就两个for循环，三个字符我就三个for循环，以此类推，然后发现代码根本写不出来
输入1 * #按键等等异常情况

数字和字母如何映射

可以使用map或者定义一个一维数组来做映射，我这里定义一个一维数组，代码如下：

        self.letterMap = [
            "",     # 0
            "",     # 1
            "abc",  # 2
            "def",  # 3
            "ghi",  # 4
            "jkl",  # 5
            "mno",  # 6
            "pqrs", # 7
            "tuv",  # 8
            "wxyz"  # 9
        ]

回溯法来解决n个for循环的问题

对于回溯法还不了解的同学看这篇：关于回溯算法，你该了解这些！

例如：输入："23"，抽象为树形结构，如图所示：

17. 电话号码的字母组合

图中可以看出遍历的深度，就是输入"23"的长度，而叶子节点就是我们要收集的结果，输出["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"]。

回溯三部曲：

确定回溯函数参数

首先需要一个字符串s来收集叶子节点的结果，然后用一个字符串数组result保存起来，这两个变量我依然定义为全局。

再来看参数，参数指定是有题目中给的string digits，然后还要有一个参数就是int型的index。

注意这个index可不是 77.组合和216.组合总和III中的startIndex了。

这个index是记录遍历第几个数字了，就是用来遍历digits的（题目中给出数字字符串），同时index也表示树的深度。

确定终止条件

例如输入用例"23"，两个数字，那么根节点往下递归两层就可以了，叶子节点就是要收集的结果集。

那么终止条件就是如果index 等于输入的数字个数（digits.size）了（本来index就是用来遍历digits的）。

然后收集结果，结束本层递归。

代码如下：

if index == len(digits):
    self.result.append(self.s)
    return

确定单层遍历逻辑

首先要取index指向的数字，并找到对应的字符集（手机键盘的字符集）。

然后for循环来处理这个字符集，代码如下：

letters = self.letterMap[int(digits[index])]
for i in letters:
    self.s += i
    self.backtracking(digits,index+1)
    self.s = self.s[:-1]

注意这里for循环，可不像是在回溯算法：求组合问题！和回溯算法：求组合总和！中从startIndex开始遍历的。

因为本题每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合，而77. 组合和216.组合总和III 都是求同一个集合中的组合！

注意：输入1 * #按键等等异常情况

代码中最好考虑这些异常情况，但题目的测试数据中应该没有异常情况的数据，所以我就没有加了。

但是要知道会有这些异常，如果是现场面试中，一定要考虑到！

方法一：回溯

class Solution:
    def __init__(self) -> None:
        self.letterMap = [
            "",     # 0
            "",     # 1
            "abc",  # 2
            "def",  # 3
            "ghi",  # 4
            "jkl",  # 5
            "mno",  # 6
            "pqrs", # 7
            "tuv",  # 8
            "wxyz"  # 9
        ]
        self.result = []
        self.s = ""
    def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:
        if len(digits) < 1: return self.result
        self.backtracking(digits,0)
        return self.result
    def backtracking(self,digits,index) -> None:
        if index == len(digits):
            self.result.append(self.s)
            return
        letters = self.letterMap[int(digits[index])]
        for i in letters:
            self.s += i
            self.backtracking(digits,index+1)
            self.s = self.s[:-1]

方法二：回溯精简

class Solution:
    def __init__(self):
        self.letterMap = [
            "",     # 0
            "",     # 1
            "abc",  # 2
            "def",  # 3
            "ghi",  # 4
            "jkl",  # 5
            "mno",  # 6
            "pqrs", # 7
            "tuv",  # 8
            "wxyz"  # 9
        ]
        self.result = []
    
    def getCombinations(self, digits, index, s):
        if index == len(digits):
            self.result.append(s)
            return
        digit = int(digits[index])
        letters = self.letterMap[digit]
        for letter in letters:
            self.getCombinations(digits, index + 1, s + letter)
    
    def letterCombinations(self, digits):
        if len(digits) == 0:
            return self.result
        self.getCombinations(digits, 0, "")
        return self.result

方法三：回溯精简

class Solution:
    def __init__(self):
        self.letterMap = [
            "",     # 0
            "",     # 1
            "abc",  # 2
            "def",  # 3
            "ghi",  # 4
            "jkl",  # 5
            "mno",  # 6
            "pqrs", # 7
            "tuv",  # 8
            "wxyz"  # 9
        ]
    
    def getCombinations(self, digits, index, s, result):
        if index == len(digits):
            result.append(s)
            return
        digit = int(digits[index])
        letters = self.letterMap[digit]
        for letter in letters:
            self.getCombinations(digits, index + 1, s + letter, result)
    
    def letterCombinations(self, digits):
        result = []
        if len(digits) == 0:
            return result
        self.getCombinations(digits, 0, "", result)
        return result

方法四：回溯精简使用列表

class Solution:
    def __init__(self):
        self.letterMap = [
            "",     # 0
            "",     # 1
            "abc",  # 2
            "def",  # 3
            "ghi",  # 4
            "jkl",  # 5
            "mno",  # 6
            "pqrs", # 7
            "tuv",  # 8
            "wxyz"  # 9
        ]
    
    def getCombinations(self, digits, index, path, result):
        if index == len(digits):
            result.append(''.join(path))
            return
        digit = int(digits[index])
        letters = self.letterMap[digit]
        for letter in letters:
            path.append(letter)
            self.getCombinations(digits, index + 1, path, result)
            path.pop()
    
    def letterCombinations(self, digits):
        result = []
        if len(digits) == 0:
            return result
        self.getCombinations(digits, 0, [], result)
        return result