在之前已经使用过正规方程法、梯度下降法拟合直线

1、回顾过去

梯度下降法拟合一元函数

最小二乘法的线性代数推导

现在使用一种新的直线检测方法，霍夫变换，它也可以拟合直线，接下里将说明他的原理。

2、霍夫变换

霍夫变换（Hough Transform）是一种在图像处理和计算机视觉中广泛使用的技术，主要用于检测图像中的几何形状，如直线、圆等。该技术由Paul Hough于1962年首次提出，其基本思想是将图像空间中的点变换到参数空间中，通过寻找参数空间中的峰值来检测图像中的特定形状。

霍夫变换一般是用来检测图像中的直线的，而图像是由一个个像素点组成的，这个过程相当于拟合一条直线了。

2.1直线拟合任务介绍

假设我们有这样一个分布的数据：

我们想用一条直线拟合数据，它的表达式为Y=kX+B

关于最小二乘和梯度下降还不知道的可以去看以往的文章，这里就直接介绍霍夫变换了。

2.2霍夫变换参数平面

原来不是Y=kX+B吗，霍夫变换将其形式改变，转换为B=Xk+Y

思想：将数据的X作为斜率，Y作为截距，如果有N个点，在k，B这个坐标系下就会有N条直线，这些直线会有交点，选择经过直线最多的交点，比如上图中标记的交点，经过的直线最多，有4条。

将这个交点(k,B)选出，形成新的Y=kX+B

因为在原来的B=Xk+Y中大部分点都过这条直线，所以转换过来后也满足绝大多数点都经过Y=kX+B。

2.3 极坐标下的霍夫变换

2.3.1使用直角坐标系存在的问题

看下图的情况：

如上图所示，如果出现直线的斜率接近于无穷，就接近于一条竖线，图左中过原点的B=0，K就是接近无穷，图右则B和k都解靖宇无穷了。在参数平面里面，这个无穷就是个很大的数，计算机基本上无法表示，如果是一条标准的直线，那么参数K就是不存在，更谈不上什么参数平面了。

2.3.2解决方法-极坐标系表示

比如这种接近竖直线的利用极坐标系（r,θ）是可以表示的，r是原点到直线的垂直距离，θ指这原点到垂点连接形成的直线与x轴形成的夹角。

对于那些斜率不存在的：

θ=0直接就可以表示了

对于水平直线，θ=π/2即可表示。

2.3.3 极坐标系下的参数平面

将y=kx+b，转换为xcosθ+ysinθ=r的极坐标表示方式

将没个点的x，y带入，N个点就有个N条曲线，为什么是曲线呢？

假如点（1，1）点,带入极坐标表达式，r=cosθ+sinθ,表达式有cos和sin，肯定是条曲线了。

不妨多带几个例子进去，（1,3），（100,1）等，它们带进去后都会生成一条关于f（r，θ）的曲线

这个时候，我们和极坐标系下一样，将曲线中的交点进行排序，经过直线最多的那个点r，θ即为我们所需要的。原理和直角坐标系一样。

注：后期时间充裕的话可能要加上MATLAB仿真。