原理

相关

线性滤波的是指就是相关，即计算图像中的每个部分和卷积核(kernel)的相关结果。

卷积核

卷积核本质上是一个固定大小的系数数组，数组中的某个元素被作为锚点（一般是数组的中心），如下图：

线性滤波操作

上面讲了线性滤波的实质就是计算相关，相关计算的具体步骤如下：

1. 将卷积核的锚点放在某个目标像素上，卷积核的其他部分就会覆盖目标像素的邻近像素；
2. 将卷积核上的系数与被覆盖的像素的值相乘，然后将积加总；
3. 将加总的和赋予目标像素
4. 对图像上的所有像素都应用以上步骤，直到每个像素都被当作目标像素进行了计算。

用数学公式来表示以上步骤：
$$H(x,y)=\sum _{i=0}^{M_i-1}\sum _{j=0}^{M_j-1}I(x+i-a_i,y+j-a_j)K(i,j)$$

• $H(x,y)$为图像第x行、第y列像素，即目标像素，的计算结果；
• $K(i,j)$为卷积核第i行，第j列的系数；
• $M_i,M_j$分别为卷积核的总行数和总列数；
• $a_i,a_j$分别为卷积核中锚点的行数和列数；
• $I(x+i-a_i,y+j-a_j)$为目标像素的邻近像素。

虽然公式看上去有点复杂，但是好在OpenCV给我们提供了一个便利的API来实现线性滤波的算法。

API

在OpenCV中可以用filter2D()函数来实现线性滤波操作。其函数原型如下：

void cv::filter2D(InputArray	src,
				OutputArray		dst,
				int				ddepth,
				InputArray		kernel,
				Point			anchor = Point(-1, -1),
				double			delta = 0,
				int				borderType = BORDER_DEFAULT)

• src：输入图片
• dst：输出图片，与输入图片有相同的尺寸和颜色通道数
• ddepth：输出的数据格式，-1表示与原图保持同样的数据格式
• kernel：卷积核数组
• anchor：锚点坐标，默认为(-1, -1)，即卷积核的中心
• delta：可选的偏移值
• borderType：图片边缘的扩充方式（由于卷积核的锚点无法覆盖图像边缘的像素，所以必须以某种方法扩充原图，使得锚点能够覆盖原有的边缘），默认为镜像扩充

实例

这里使用各种尺寸的归一化滤波作为例子。一个3*3的归一化滤波卷积核如下：
$$K=\frac{1}{3\cdot 3}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$

使用著名的lena图片作为例子。
为了能够展示不同尺寸的卷积核带来的归一化滤波效果，这里使用了一个循环来进行迭代。在循环体内将卷积核的尺寸依次循环地设置为55, 77, 99, 1111, 13*13。具体代码如下：

#include <opencv2/imgproc.hpp>
#include <opencv2/imgcodecs.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>

using namespace cv;

int main() {
	Mat src{ imread("lena.jpg") };

	Point anchor{ Point(-1, -1) };	//锚点为卷积核中心
	double delta{ 0 };				//偏移值为0
	int ddepth{ -1 };				//输出数据类型与原图一致

	int ind{ 0 }, kernel_size;
	Mat kernel, dst;
	for (;;) {
		kernel_size = 3 + 2 * (ind % 5);	//卷积核的尺寸为5,7,9,11,13，不断循环
		kernel = Mat::ones(kernel_size, kernel_size, CV_32F)
			/ static_cast<float>(kernel_size * kernel_size);	//创建归一化滤波的卷积核

		//自定义滤波操作
		filter2D(src,
			dst,
			ddepth,
			kernel,
			anchor,
			delta,
			BORDER_DEFAULT);

		//显示结果图片
		imshow("filter2D", dst);
		char c = static_cast<char>(waitKey(500));
		if (c == 27)	//按ESC则退出
			break;

		ind++;
	}
}

效果如下：

1. 5*5的归一化滤波结果
   
2. 7*7归一化滤波结果
   
3. 9*9归一化滤波结果
   
4. 11*11归一化滤波结果
   
5. 13*13归一化滤波结果
   
   可以看到卷积核越大，滤波后的图片越模糊。