AOE网及其求解关键路径

news2024/12/27 12:52:19

全称

Activity on Edge Network 边活动网

特点

仅存在 有向无环图 

作用

用于记录完成整个工程至少花费的时间 ==> 哪条路径最耗时?也就是“ 关键路径

AOE网元素介绍

关键活动

关键路径上的活动称为关键活动 , 关键活动是不允许拖延的(普通活动可以拖延,拖延时间=最晚开始时间-最早开始时间),因为已经是耗时最长的一条路径,再拖延就耽误了工期。也就是说,关键活动的最早开始时间=最晚开始时间 

 

如何求得关键路径

先计算事件的最早开始时间

起点的最早开始时间=最晚开始时间=0

从前往后看,该事件的最早开始时间ve=max{原本的最早开始时间,前驱事件的ve+活动耗费的时间}

先初始化所有点的最早开始时间为0;

选取入度为0的点V1,V2的最早开始时间=max{0,0+2}=2,V3的最早开始时间=max{0,0+5}=5。删除V1及其出度边;

选取入度为0的点V2,V4的最早开始时间=max{0,2+3}=5,V3的最早开始时间=max{5,2+1}=5。删除V2及其出度边;

选取入度为0的点V3,V4的最早开始时间=max{5,5+3}=8,V6的最早开始时间=max{0,5+1}=6,V5的最早开始时间=max{0,5+4}=9。删除V3及其出度边;

选取入度为0的点V4,V5的最早开始时间=max{9,8+1}=9,V6的最早开始时间=max{6,8+4}=12。删除V4及其出度边;

选取入度为0的点V5,V6的最早开始时间=max{12,9+1}=12。删除V5及其出度边;

最后只剩V6。

接着计算事件的最晚开始时间

终点的最早开始时间=最晚开始时间=12

从后往前看,该事件的最晚开始时间vl=min{原本的最晚开始时间,后驱事件的vl-活动耗费的时间}

先初始化所有点的最晚开始时间为12;

选取出度为0的点V6,V4的最晚开始时间=min{12,12-4}=8,V3的最晚开始时间=min{12,12-1}=11,V5的最晚开始时间=min{12,12-1}=11。删除V6及其入度边;

 选取出度为0的点V5,V4的最晚开始时间=min{8,11-1}=8,V3的最晚开始时间=min{11,11-4}=7。删除V5及其入度边;

 选取出度为0的点V4,V2的最晚开始时间=min{12,8-3}=5,V3的最晚开始时间=min{7,8-3}=5。删除V4及其入度边;

 选取出度为0的点V3,V2的最晚开始时间=min{5,5-1}=4,V1的最晚开始时间=min{12,5-5}=0。删除V3及其入度边;

选取出度为0的点V2,V1的最晚开始时间=min{0,4-2}=0。删除V2及其入度边;

只剩下V1。

最终结果为:

 把每个事件的最早开始时间ve和最晚开始时间vl汇总成表格:

继续计算活动的最早开始时间

活动的最早开始时间=该活动前驱事件的最早开始时间

活动a、b的最早开始时间就是事件V1的最早开始时间0 

活动c、d的最早开始时间就是事件V2的最早开始时间2

活动e、g、f的最早开始时间就是事件V3的最早开始时间5

活动h、i的最早开始时间就是事件V4的最早开始时间8

活动j的最早开始时间就是事件V5的最早开始时间9

再计算活动的最晚开始时间

活动的最晚开始时间=该活动后驱事件的最晚开始时间-该活动耗时

活动a的最晚开始时间=事件V2的最晚开始时间-2=4-2=2

活动b的最晚开始时间=事件V3的最晚开始时间-5=5-5=0

活动c的最晚开始时间=事件V3的最晚开始时间-1=5-1=4

活动d的最晚开始时间=事件V4的最晚开始时间-3=8-3=5

活动e的最晚开始时间=事件V4的最晚开始时间-3=8-3=5

活动f的最晚开始时间=事件V5的最晚开始时间-4=11-4=7

活动g的最晚开始时间=事件V6的最晚开始时间-1=12-1=11

活动h的最晚开始时间=事件V5的最晚开始时间-1=11-1=10

活动i的最晚开始时间=事件V6的最晚开始时间-4=12-4=8

活动j的最晚开始时间=事件V6的最晚开始时间-1=12-1=11

找到关键活动

根据刚刚所求结果得出活动b、e、i是关键活动,其最早开始时间=最晚开始时间。

连接关键活动

所以关键路径就是由关键活动所连起来的这条路径。 

注意:关键路径可能有多条!!! 

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